Andengradsligning

Ved en andengradsligning forstås en ligning på formen

Rødderne (løsningerne) til en andengradsligning med koefficienterne $a$, $b$ og $c$ kan sammenfattes i den viste ligning.

$a\cdot x^{2}+b\cdot x+c=0\quad a,b,c\in \mathbb {R} ,\quad a\neq 0$

Størrelserne $a$, $b$ og $c$ kaldes andengradsligningen koefficienter og $x\in \mathbb {R}$ er den ubekendte, hvis værdi skal bestemmes med ligningen. Det første led, $a\cdot x^{2}$ kaldes andengradsleddet, $b\cdot x$ er førstegradsleddet og $c$ er konstantleddet (eller nultegradsleddet). Koefficeienten $a$ må kræves at være forskellig fra nul, da ligningen ellers ikke er af anden grad; der er ingen begrænsninger på $b$ og $c$. Løsningerne til andengradsligningen kaldes dens rødder; en andengradsligning kan have 0, 1 eller 2 rødder.

Såfremt man arbejder inden for de reele tal $\mathbb {R}$, betegnes den ubekendte normalt $x$, men anden navngivning kan forekomme. Hvis ligningen ønskes løst inden for de komplekse tal $\mathbb {C}$, betegnes den ubekendte normalt $z$:

$a\cdot z^{2}+b\cdot z+c=0\quad a,b,c\in \mathbb {C} ,\quad a\neq 0$

Komplekse andengradsligninger behandles i artiklen om komplekse tal.

Eksempler

Ligning		Kommentar
$2.5\cdot x^{2}+23\cdot x+53=0$		$a=2.5,\,b=23,\,c=53$
$9\cdot x^{2}-66\cdot x+121=0$		$a=9,\,b=-66,\,c=121$
$7\cdot x^{2}-33\cdot x-10=0$		$a=7,\,b=-33,\,c=-10$
$7\cdot q^{2}-33\cdot q-10=0$		Samme ligning, blot med $q$ som ubekendt
$5-x=x^{2}$		$a=1,\,b=1,\,c=-5$ eller $a=-1,\,b=-1,\,c=5$
$x^{4}+3\cdot x^{2}-28=0$		"Iklædt" andengradsligning med $x^{2}$ som ukendt: $x^{4}=(x^{2})^{2}$
$2\cdot {\sqrt {3}}\cdot x^{2}+({\sqrt {3}}-6)\cdot x-3=0$		$a=2\cdot {\sqrt {3}},\,b={\sqrt {3}}-6,\,c=-3$

Løsning af en andengradsligning

Idéen i løsninger er at supplere anden- og førstegradsleddene med yderligere et led, således at de tre led kan omskrives ved hjælp af første kvadratsætning, som her skrives på formen

${\color {Green}p}^{2}+2\cdot {\color {Green}p}\cdot {\color {Red}q}+{\color {Red}q}^{2}=({\color {NavyBlue}p+q})^{2}$

Vi skal nu prøve at identificere $p^{2}$ med andengradsleddet $a\cdot x^{2}$ og $2\cdot p\cdot q$ med førstegradsleddet $b\cdot x$. Imidlertid er $a\cdot x^{2}$ ikke et kvadrat. Men det kan opnås ved at multiplicere ligningen med en snedigt valgt faktor, som dels gør leddet kvadratisk og dels udskyder en trælsom division til allersidst:

		$a\cdot x^{2}+b\cdot x+c=0$		Den givne ligning
$\Updownarrow$
		$4\cdot a\cdot a\cdot x^{2}+4\cdot a\cdot b\cdot x+4\cdot a\cdot c=0$		Multiplikation med $4\cdot a$; lovligt, da $a\neq 0$
$\Updownarrow$
		$({\color {Green}2\cdot a\cdot x})^{2}+2\cdot ({\color {Green}2\cdot a\cdot x})\cdot {\color {Red}b}+{\color {Red}b}^{2}-b^{2}+4\cdot a\cdot c=0$		Faktorisering og addition af $b^{2}-b^{2}$
$\Updownarrow$
		$({\color {NavyBlue}2\cdot a\cdot x+b})^{2}-b^{2}+4\cdot a\cdot c=0$		Anvendelse af første kvadratsætning.
$\Updownarrow$
		$(2\cdot a\cdot x+b)^{2}=b^{2}-4\cdot a\cdot c$		Konstantled flyttes til højre side
$\Updownarrow$
		$(2\cdot a\cdot x+b)^{2}=d$		Kombinationen af koefficienterne betegnes $d$

Vi har her indført andengradsligningens diskriminant givet ved

$d\equiv b^{2}-4\cdot a\cdot c$.

Diskriminantens fortegn bruges til at skelne (diskriminere) mellem antallet af løsninger til ligningen, hvilket udredes i det følgende. Vi arbejder videre med den fundne ligning,

$(2\cdot a\cdot x+b)^{2}=d$

	$d<0$	Venstre side er et kvadrat og derfor ikke-negativ.   Højre side er negativ.   Lighedstegnet er derfor ikke opfyldt.
		Andengradsligningen har ingen løsninger.
	$d=0$	$2\cdot a\cdot x+b=0$	Anvendelse af nulreglen.
		$x=-{\frac {b}{2\cdot a}}$	Lovlig division, da $a\neq 0$.
		Andengradsligningen har én løsning: $x=-{\frac {b}{2\cdot a}}$.
	$d>0$	$(2\cdot a\cdot x+b)^{2}-({\sqrt {d}})^{2}=0$	Diskriminanten omskrives til $d=({\sqrt {d}})^{2}$.
		$(2\cdot a\cdot x+b+{\sqrt {d}})\cdot (2\cdot a\cdot x+b-{\sqrt {d}})=0$	Tredje kvadratsætning benyttes.
		$(2\cdot a\cdot x+b+{\sqrt {d}}=0)\lor (2\cdot a\cdot x+b-{\sqrt {d}}=0)$	Anvendelse af nulreglen.
		$\left(x=-{\frac {b+{\sqrt {d}}}{2\cdot a}}\right)\lor \left(x=-{\frac {b-{\sqrt {d}}}{2\cdot a}}\right)$	Lovlig division, da $a\neq 0$.
		Andengradsligningen har to løsninger: $x=-{\frac {b+{\sqrt {d}}}{2\cdot a}}$ og $x=-{\frac {b-{\sqrt {d}}}{2\cdot a}}$.

Eksempler på løsninger

I alle tilfælde starter man med at beregne diskriminanten $d$.

Ligning	Løsning
$2.5\cdot x^{2}+23\cdot x+53=0$	$d=23^{2}-4\cdot 2.5\cdot 53=-1.$ Ingen løsninger
$9\cdot x^{2}-66\cdot x+121=0$	$d=66^{2}-4\cdot 9\cdot 121=0.$ Én løsning: $x={\tfrac {66}{2\cdot 9}}={\tfrac {11}{3}}$
$7\cdot x^{2}-33\cdot x-10=0$	$d=(-33)^{2}-4\cdot 7\cdot (-10)=1369=37^{2}.$ To løsninger: $(x={\tfrac {33-37}{14}})\lor (x={\tfrac {33+37}{14}})\quad \Leftrightarrow$ $(x=-{\tfrac {2}{7}})\lor (x=5)$
$x^{2}+x-5=0$	$d=1^{2}-4\cdot 1\cdot (-5)=21.$ To løsninger: $(x={\tfrac {-1-{\sqrt {21}}}{2}}\approx -2.791\,288)\lor$ $(x={\tfrac {-1+{\sqrt {21}}}{2}}\approx 1.791\,288)$
$x^{4}+3\cdot x^{2}-28=0$	$d=3^{2}-4\cdot 1\cdot (-28)=121=11^{2}.$ $(x^{2}={\tfrac {-3-11}{2}}=-7)\lor (x^{2}={\tfrac {-3+11}{2}}=4)\quad \Leftrightarrow$ $x^{2}=4\quad \Leftrightarrow \quad (x=-2)\lor (x=2)$
$2\cdot {\sqrt {3}}\cdot x^{2}+({\sqrt {3}}-6)\cdot x-3=0$	$d=({\sqrt {3}}-6)^{2}-4\cdot 2\cdot {\sqrt {3}}\cdot (-3)$ $=3+36-12\cdot {\sqrt {3}}+24\cdot {\sqrt {3}}$ $=39+12\cdot {\sqrt {3}}=(6+{\sqrt {3}})^{2}$ $\left(x={\frac {-{\sqrt {3}}+6-6-{\sqrt {3}}}{4\cdot {\sqrt {3}}}}={\frac {-2\cdot {\sqrt {3}}}{4\cdot {\sqrt {3}}}}\right)\lor$ $\left(x={\frac {-{\sqrt {3}}+6+6+{\sqrt {3}}}{4\cdot {\sqrt {3}}}}={\frac {12}{4\cdot {\sqrt {3}}}}\cdot {\frac {\sqrt {3}}{\sqrt {3}}}\right)$ $(x=-{\tfrac {1}{2}})\lor (x={\sqrt {3}})$

Normeret andengradsligning

Da $a\neq 0$, kan enhver andengradsligning divideres igennem med $a$, hvorved den får formen

$x^{2}+s\cdot x+t=0\quad s,t\in \mathbb {R}$

Ligningen siges nu at være normeret. En normeret andengradsligning med to rødder $p$ og $q$ kan ifølge nul-reglen skrives på formen

$(x-p)\cdot (x-q)=0$

eller

$x^{2}-(p+q)\cdot x+p\cdot q=0$

Ved sammenligning af de to udtryk ser vi at

$p+q=-s$		Røddernes sum er koefficienten til førstegradsleddet med modsat fortegn
$p\cdot q=t$		Røddernes produkt er lig konstantleddet.

Har man en formodning om, at en forelagt ligning har to simple rødder, kan man undertiden bruge disse regler til ved hovedregning at finde rødderne; man siger uformelt, at man kaster et skarpt blik på ligningen.

Eksempel:

I ligningen $x^{2}+9\cdot x+14=0$ er konstantleddet lig $14$, der kan være produktet af $1$ og $14$, $2$ og $7$ samt $-1$ og $-14$ og $-2$ og $-7$. Da summen skal være $-9$, må rødderne være $-2$ og $-7$.

Numerisk beregning af rødder

Med ovenstående formler er andengradsligningen $a\cdot x^{2}+b\cdot x+c=0$ løst matematisk. Men ved praktisk beregning kan der opstå et problem med ciffertab ved subtraktion af to næsten lige store størrelser, fordi beregningen sker med et endeligt antal betydende cifre; for eksempel yder regnearket Excel 14 - 15 betydende cifre (side på engelsk).

I løsningsformlen for en andengradsligning indgår de to størrelser $-b-{\sqrt {d}}$ og $-b+{\sqrt {d}}$. Hvis

$-b=0.123\,456\,789\,012\,34$

${\sqrt {d}}=0.123\,456\,789\,012\,33$

så bliver differensen

$-b-{\sqrt {d}}=0.000\,000\,000\,000\,01$

med et katastrofalt tab i antallet af betydende cifre.

Dette problem kan man imidlertid undgå ved at udnytte, at røddernes produkt (jfr. forrige afsnit) er $x_{1}\cdot x_{2}=c/a$. Algoritmen bliver derfor følgende:

• Beregn diskriminanten $d$, der her antages positiv.

• Hvis $b\geqq 0$, så er både $-b$ og $-{\sqrt {d}}$ negative: Sæt $x_{1}={\frac {-b-{\sqrt {d}}}{2\cdot a}}$ og $x_{2}={\frac {c}{a\cdot x_{1}}}$.

• Hvis $b<0$, så er både $-b$ og ${\sqrt {d}}$ positive: Sæt $x_{2}={\frac {-b+{\sqrt {d}}}{2\cdot a}}$ og $x_{1}={\frac {c}{a\cdot x_{2}}}$.

Eksempel:

Andengradsligningen

$x^{2}-(10^{n}+10^{-n})\cdot x+1=0\quad n\in \mathbb {N}$

er konstrueret til at have de eksakte rødder $10^{n}$ og $10^{-n}$. Dens diskriminant er

$d=10^{2\cdot n}-2+10^{-2\cdot n}$.

Vælges $n=3$, fås ligningen $x^{2}-1000.001\cdot x+1=0$ og diskriminanten $d=999\,998.000\,001$.

Tabellen herunder viser, hvike resultater man når frem til med de "matematiske" formler for $x_{1}$ og $x_{2}$ og den "numeriske" formel for $x_{1}$, såfremt alle beregninger udføres med 6 betydende cifre.

$\,n\,$	$b$	$b^{2}$	$d$	${\sqrt {d}}$	$-b-{\sqrt {d}}$	$-b+{\sqrt {d}}$	$x_{1}$ Klassisk	$x_{2}$ Klassisk	$x_{1}$ Fra $x_{2}$
$1$	$-10.1$	$102.010$	$98.01$	$9.9$	$0.200000$	$20$	$0.1$	$10$	$0.1$
$2$	$-100.01$	$10002$	$9998.00$	$99.99$	$0.02001$	$200$	$0.01$	$100$	$0.01$
$3$	$-1000$	$1000000$	$999996$	$999.998$	$0.00200000$	$2000$	$0.001$	$1000$	$0.001$
$4$	$-10^{4}$	$10^{8}$	$10^{8}$	$10^{4}$	${\color {BurntOrange}0}$	$20000$	${\color {BurntOrange}0}$	$10000$	${\color {Green}0.0001}$
$5$	$-10^{5}$	$10^{10}$	$10^{10}$	$10^{5}$	${\color {BurntOrange}0}$	$200000$	${\color {BurntOrange}0}$	$100000$	${\color {Green}0.00001}$

Som det ses, svigter den klassiske metode i de to sidste situationer, medens den modificerede fremgangsmåde leverer korrekte rødder.

Andengradsulighed

En andengradsulighed er et åbent udsagn af typen

$a\cdot x^{2}+b\cdot x+c<0$

$a\cdot x^{2}+b\cdot x+c\leqq 0$

$a\cdot x^{2}+b\cdot x+c>0$

$a\cdot x^{2}+b\cdot x+c\geqq 0$

hvor $a,\,b,\,c\in \mathbb {R} ,\quad a\neq 0$.

Løsningsmængden $L$, dvs. samlingen ef $x$-værdier, som gør det åbne udsagn sandt, findes ved først at løse den tilhørende andengradsligning $a\cdot x^{2}+b\cdot x+c=0$ og derefter foretage en fortegnsundersøgelse for det tilhørende andengradspolynomium $P(x)=a\cdot x^{2}+b\cdot x+c$.

Eksempler på andengradsuligheder

Eksempel 1

$x^{2}+6\cdot x+5<0$

Den tilhørende andengradsligning $x^{2}+6\cdot x+5=0$ ses ved anvendelse af løsningsmetoden ovenfor (eller ved at kaste et skarpt blik på den) at have rødderne $-5$ og $-1$. Sættes $x=0$, fås resultatet $+5$, der ikke er mindre end nul.

Fortegnsaksen viser nulpunkter og fortegnsvariation for andengradspolynomiet $P(x)=x^{2}+6\cdot x+5$.

Polynomiets fortegnsvariation må da være som vist på fortegnsaksen herover. Løsningsmængden $L$ kan nu aflæses:

$x^{2}+6\cdot x+5<0\quad \Rightarrow \quad L\,=]-5;\,-1[$

Eksempel 2:

$x^{2}+6\cdot x+5\leqq 0\quad \Rightarrow \quad L=\,[-5;\,-1]$

Eksempel 3:

$x^{2}+6\cdot x+5>0\quad \Rightarrow \quad L\,=]-\infty ;-5[\;\cup \;]-1;\,+\infty [$

Eksempel 4:

Grafer ${\mathcal {P}}$ og ${\mathcal {Q}}$ for de to andengradspolynomier $P(x)=x^{2}+6\cdot x+5$ og $Q(x)={\tfrac {1}{4}}\cdot x^{2}+{\tfrac {47}{4}}$. Løsningsmængden til andengradsuligheden $P(x)<0$ er vist med et rødt lijestykke. Løsningsmængden til uligheden $P(x)>Q(x)$ er vist med to blå halvlinjer.

$x^{2}+6\cdot x+5\geqq {\tfrac {1}{4}}\cdot x^{2}+{\tfrac {47}{4}}$

Uligheden omskrives til standardform:

$4\cdot x^{2}+24\cdot x+20\geqq x^{2}+47\quad \Rightarrow \quad 3\cdot x^{2}+24\cdot x-27\geqq 0\quad \Rightarrow \quad \quad x^{2}+8\cdot x-9\geqq 0$

Andengradsligningen $x^{2}+8\cdot x-9=0$ har rødderne $-9$ og $1$, og da udtrykkets værdi for $x=0$ er negativt, ligger løsningsmængden uden for rodintervallet:

$L\,=]-\infty ;-9[\;\cup \;]1;\,+\infty [$.

Løsningerne kan illustreres ved at tegne graferne for de to involverede andengradspolynomier,

$P(x)=x^{2}+6\cdot x+5\quad$ og$\quad Q(x)={\tfrac {1}{4}}\cdot x^{2}+{\tfrac {47}{4}}$

Uligheden fra eksempel 1 svarer da til at spørge om, for hvilke $x$-værdier grafen for $P$ ligger under førsteaksen, medens dobbeltuligheden svar til at spørge om, for hvilke $x$-værdier grafen for $P$ ligger over eller på grafen for $Q$.