Der er for få eller ingen kildehenvisninger i denne artikel, hvilket er et problem . Du kan hjælpe ved at angive troværdige kilder til de påstande, som fremføres i artiklen. Her er nogle regneregler for differentiation . Det forudsættes at alle funktioner er differentiable og dermed kontinuerte for den givne definitionsmængde :
y ( x ) = k {\displaystyle y(x)=k} , hvor k {\displaystyle k} er en konstant, har den afledede y ′ ( x ) = 0 {\displaystyle y'(x)=0}
(1): y ( x ) = x ⋅ k {\displaystyle y(x)=x\cdot k} , hvor k {\displaystyle k} er en konstant, har den afledede y ′ ( x ) = k {\displaystyle y'(x)=k}
y ( x ) = k ⋅ x n {\displaystyle y(x)=k\cdot x^{n}} har den afledede y ′ ( x ) = k ⋅ n ⋅ x n − 1 {\displaystyle y'(x)=k\cdot n\cdot x^{n-1}} , og heraf
y ( x ) = 1 x {\displaystyle y(x)={\frac {1}{x}}} har den afledede y ′ ( x ) = − 1 x 2 {\displaystyle y'(x)=-{\frac {1}{x^{2}}}} , undtagen for x=0Funktioner der er sammensatte funktioner samt funktioner der er summen, differensen, produktet eller kvotienten af to differentiable funktioner er selv differentiable (med visse, åbenlyse begrænsninger i definitionsmængderne). Differentialkvotienterne kan udregnes efter følgende regler:
( f ∘ g ) ′ ( x ) = ( f ( g ( x ) ) ) ′ = g ′ ( x ) ⋅ f ′ ( g ( x ) ) {\displaystyle (f\circ g)'(x)=(f(g(x)))'=g'(x)\cdot f'(g(x))} (kædereglen)
(2): ( f + g ) ′ ( x ) = f ′ ( x ) + g ′ ( x ) {\displaystyle (f+g)'(x)=f'(x)+g'(x)} (sumreglen)
( f − g ) ′ ( x ) = f ′ ( x ) − g ′ ( x ) {\displaystyle (f-g)'(x)=f'(x)-g'(x)} (differensreglen)
( f ⋅ g ) ′ ( x ) = f ′ ( x ) ⋅ g ( x ) + f ( x ) ⋅ g ′ ( x ) {\displaystyle (f\cdot g)'(x)=f'(x)\cdot g(x)+f(x)\cdot g'(x)} (produktreglen)
( 1 g ) ′ ( x ) = − g ′ ( x ) ( g ( x ) ) 2 {\displaystyle \left({\frac {1}{g}}\right)'(x)=-{\frac {g'(x)}{(g(x))^{2}}}} , undersøges for g(x)=0
( f g ) ′ ( x ) = f ′ ( x ) ⋅ g ( x ) − f ( x ) ⋅ g ′ ( x ) ( g ( x ) ) 2 = f ′ ( x ) ⋅ 1 g ( x ) + f ( x ) ⋅ ( − g ′ ( x ) ( g ( x ) ) 2 ) {\displaystyle \left({\frac {f}{g}}\right)'(x)={\frac {f'(x)\cdot g(x)-f(x)\cdot g'(x)}{(g(x))^{2}}}=f'(x)\cdot {\frac {1}{g(x)}}+f(x)\cdot (-{\frac {g'(x)}{(g(x))^{2}}})} , undersøges for g(x)=0 (følger af ( f ⋅ h ) ′ ( x ) = f ′ ( x ) ⋅ h ( x ) + f ( x ) ⋅ h ′ ( x ) {\displaystyle (f\cdot h)'(x)=f'(x)\cdot h(x)+f(x)\cdot h'(x)} og ( 1 g ) ′ ( x ) = − g ′ ( x ) ( g ( x ) ) 2 {\displaystyle \left({\frac {1}{g}}\right)'(x)=-{\frac {g'(x)}{(g(x))^{2}}}} )Differentiation er linear . (følger af (1) og (2) ) Sinus-funktionen sin ( x ) {\displaystyle \sin(x)} har differentialkvotienten sin ′ ( x ) = cos x {\displaystyle \sin '(x)=\cos x}
Cosinus-funktionen cos ( x ) {\displaystyle \cos(x)} har differentialkvotienten cos ′ ( x ) = − sin x {\displaystyle \cos '(x)=-\sin x}
Tangens , tan ( x ) {\displaystyle \tan(x)} , har differentialkvotienten tan ′ ( x ) = 1 + tan 2 ( x ) {\displaystyle \tan '(x)=1+\tan ^{2}(x)}
Den naturlige eksponentialfunktion , e x {\displaystyle e^{x}} , er pr. definition lig med sin differentialkvotient. Dvs. at konstanten e er defineret til at være det reelle tal som opfylder ligningen d d x e x = e x {\displaystyle {\frac {d}{dx}}e^{x}=e^{x}} .
Eksponentialfunktionen y ( x ) = a x {\displaystyle y(x)=a^{x}} hvor a {\displaystyle a} er en konstant, har differentialkvotient y ′ ( x ) = ln ( a ) a x {\displaystyle y'(x)=\ln(a)a^{x}} , hvor ln {\displaystyle \ln } er den naturlige logaritmefunktion
Den naturlige logaritme , ln ( x ) {\displaystyle \ln(x)} , har differentialkvotienten ln ′ ( x ) = 1 x {\displaystyle \ln '(x)={\frac {1}{x}}}
Differentialkvotienten af summen af to differentiable funktioner
redigér
Sumreglen lader differentialkvotienten af summen af to differentiable funktioner beregnes.
En funktion , f(x), der er givet som en sum:
f ( x ) = v ( x ) + u ( x ) {\displaystyle f(x)=v(x)+u(x)}
har differentialkvotienten
f ′ ( x ) = v ′ ( x ) + u ′ ( x ) {\displaystyle f'(x)=v'(x)+u'(x)}
Dvs. differentialkvotienten af summen v ( x ) + u ( x ) {\displaystyle v(x)+u(x)} er lig med summen af funktionernes differentialkvotienter.
Først finder vi sekantens hældning , eller differenskvotienten :
Δ y Δ x = f ( x + Δ x ) − f ( x ) Δ x {\displaystyle {\frac {\Delta y}{\Delta x}}={\frac {f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}}}
Da f(x)=v(x)+u(x), får vi:
Δ y Δ x = v ( x + Δ x ) + u ( x + Δ x ) − ( v ( x ) + u ( x ) ) Δ x {\displaystyle {\frac {\Delta y}{\Delta x}}={\frac {v(x+\Delta x)+u(x+\Delta x)-(v(x)+u(x))}{\Delta x}}}
Ovenstående ligning kan let omskrives til følgende:
Δ y Δ x = v ( x + Δ x ) − v ( x ) Δ x + u ( x + Δ x ) − u ( x ) Δ x {\displaystyle {\frac {\Delta y}{\Delta x}}={\frac {v(x+\Delta x)-v(x)}{\Delta x}}+{\frac {u(x+\Delta x)-u(x)}{\Delta x}}}
Hvis Δ x → 0 {\displaystyle \Delta x\rightarrow 0} (dvs. tilvæksten på x-aksen bliver uendelig lille), så går brøken mod grænseværdierne. Det er hermed bevist, at
d d x u ( x ) + v ( x ) = v ′ ( x ) + u ′ ( x ) {\displaystyle {\frac {d}{dx}}u(x)+v(x)=v'(x)+u'(x)}
Q . E . D . {\displaystyle Q.E.D.{\frac {}{}}}
Differentialkvotienten af produktet af to differentiable funktioner
redigér
Produktreglen lader differentialkvotienten af produktet af to differentiable funktioner beregnes.
En funktion , f(x), der er givet som et produkt:
f ( x ) = v ( x ) ⋅ u ( x ) {\displaystyle f(x)=v(x)\cdot u(x)}
har differentialkvotienten
f ′ ( x ) = v ′ ( x ) ⋅ u ( x ) + v ( x ) ⋅ u ′ ( x ) {\displaystyle f'(x)=v'(x)\cdot u(x)+v(x)\cdot u'(x)}
Først findes sekantens hældning , eller differenskvotienten :
Δ y Δ x = f ( x + Δ x ) − f ( x ) Δ x {\displaystyle {\frac {\Delta y}{\Delta x}}={\frac {f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}}}
Hvilket, idet f(x) = v(x)u(x), bliver
Δ y Δ x = v ( x + Δ x ) ⋅ u ( x + Δ x ) − v ( x ) ⋅ u ( x ) Δ x {\displaystyle {\frac {\Delta y}{\Delta x}}={\frac {v(x+\Delta x)\cdot u(x+\Delta x)-v(x)\cdot u(x)}{\Delta x}}}
Der lægges følgende til differenskvotientens tæller, hvorpå det samme trækkes fra igen. Dette giver 0, således er dette fuldt lovligt.
Δ y Δ x = v ( x + Δ x ) ⋅ u ( x + Δ x ) − v ( x ) ⋅ u ( x ) + v ( x + Δ x ) ⋅ u ( x ) − v ( x + Δ x ) ⋅ u ( x ) Δ x {\displaystyle {\frac {\Delta y}{\Delta x}}={\frac {v(x+\Delta x)\cdot u(x+\Delta x)-v(x)\cdot u(x)+v(x+\Delta x)\cdot u(x)-v(x+\Delta x)\cdot u(x)}{\Delta x}}}
u(x) og v(x+dx) kan nu sættes uden for parentes, og derefter kan brøkstregen deles op:
Δ y Δ x = v ( x + Δ x ) [ u ( x + Δ x ) − u ( x ) ] + u ( x ) [ v ( x + Δ x ) − v ( x ) ] Δ x {\displaystyle {\frac {\Delta y}{\Delta x}}={\frac {v(x+\Delta x)[u(x+\Delta x)-u(x)]+u(x)[v(x+\Delta x)-v(x)]}{\Delta x}}}
⇕ {\displaystyle \Updownarrow }
Δ y Δ x = v ( x + Δ x ) [ u ( x + Δ x ) − u ( x ) ] Δ x + u ( x ) [ v ( x + Δ x ) − v ( x ) ] Δ x {\displaystyle {\frac {\Delta y}{\Delta x}}={\frac {v(x+\Delta x)[u(x+\Delta x)-u(x)]}{\Delta x}}+{\frac {u(x)[v(x+\Delta x)-v(x)]}{\Delta x}}}
⇕ {\displaystyle \Updownarrow }
Δ y Δ x = v ( x + Δ x ) [ u ( x + Δ x ) − u ( x ) Δ x ] + u ( x ) [ v ( x + Δ x ) − v ( x ) Δ x ] {\displaystyle {\frac {\Delta y}{\Delta x}}=v(x+\Delta x)\left[{\frac {u(x+\Delta x)-u(x)}{\Delta x}}\right]+u(x)\left[{\frac {v(x+\Delta x)-v(x)}{\Delta x}}\right]}
Differentialkvotienten bliver således:
f ′ ( x ) = lim Δ x → 0 ( Δ y Δ x ) {\displaystyle f'(x)=\lim _{\Delta x\to 0}\left({\frac {\Delta y}{\Delta x}}\right)}
Hvilket i det generelle tilfælde er:
f ′ ( x ) = lim Δ x → 0 ( v ( x + Δ x ) [ u ( x + Δ x ) − u ( x ) Δ x ] + u ( x ) [ v ( x + Δ x ) − v ( x ) Δ x ] ) {\displaystyle f'(x)=\lim _{\Delta x\to 0}\left(v(x+\Delta x)\left[{\frac {u(x+\Delta x)-u(x)}{\Delta x}}\right]+u(x)\left[{\frac {v(x+\Delta x)-v(x)}{\Delta x}}\right]\right)}
⇕ {\displaystyle \Updownarrow }
f ′ ( x ) = lim Δ x → 0 ( v ( x + Δ x ) ) ⋅ lim Δ x → 0 [ u ( x + Δ x ) − u ( x ) Δ x ] + lim Δ x → 0 ( u ( x ) ) ⋅ lim Δ x → 0 [ v ( x + Δ x ) − v ( x ) Δ x ] {\displaystyle f'(x)=\lim _{\Delta x\to 0}(v(x+\Delta x))\cdot \lim _{\Delta x\to 0}\left[{\frac {u(x+\Delta x)-u(x)}{\Delta x}}\right]+\lim _{\Delta x\to 0}(u(x))\cdot \lim _{\Delta x\to 0}\left[{\frac {v(x+\Delta x)-v(x)}{\Delta x}}\right]}
Der kan nu ses at dette bliver til; hvis de overordnede fire led tages grænseværdien af:
f ′ ( x ) = v ( x ) ⋅ u ′ ( x ) + u ( x ) ⋅ v ′ ( x ) {\displaystyle f'(x)=v(x)\cdot u'(x)+u(x)\cdot v'(x){\frac {}{}}}
Umiddelbart ville man ikke tro at lim Δ x → 0 ( v ( x + Δ x ) ) = v ( x ) {\displaystyle \lim _{\Delta x\to 0}(v(x+\Delta x))=v(x)} , og dette er heller ikke fuldstændig rigtigt, dette gælder kun hvis v(x) er kontinuert. Det er hermed bevist at (kortere skrevet, "(x)" udlades):
d d x u ( x ) ⋅ v ( x ) = v ′ ⋅ u + v ⋅ u ′ {\displaystyle {\frac {d}{dx}}u(x)\cdot v(x)=v'\cdot u+v\cdot u'}
Q . E . D . {\displaystyle Q.E.D.{\frac {}{}}}
Differentialkvotienten af brøken af to differentiable funktioner
redigér
Kvotientreglen lader differentialkvotienten af brøken af to differentiable funktioner beregnes.
En funktion , f(x), der er givet som en brøk:
f ( x ) = v ( x ) u ( x ) {\displaystyle f(x)={\frac {v(x)}{u(x)}}}
har differentialkvotienten
f ′ ( x ) = v ′ ( x ) ⋅ u ( x ) − v ( x ) ⋅ u ′ ( x ) u ( x ) 2 {\displaystyle f'(x)={\frac {v'(x)\cdot u(x)-v(x)\cdot u'(x)}{u(x)^{2}}}}
Eksterne henvisninger
redigér