Kvadratkomplettering er en teknik i algebra , hvis grundlæggende formål er at reducere en variabel med et polynomium af anden grad i en ligning eller i et matematisk udtryk, så der fremkommer et lineært polynomisk udtryk i anden potens . Derved gøres det i mange sammenhænge lettere at løse ligningen.
Ved kvadratkomplettering transformeres et andengradspolynomiom altså til et kvaderet lineært polynomiun og en konstant . Det betyder, at et polynomium af formen
a
x
2
+
b
x
{\displaystyle ax^{2}+bx\,\!}
ændres til et af formen
(
c
x
+
d
)
2
+
e
{\displaystyle (cx+d)^{2}+e\,\!}
Det bemærkes, at koefficienterne a, b, c, d og e ovenfor selv kan være matematiske udtryk og indeholde andre variable end x.
Den vigtigste anvendelse af kvadratkomplettering er at finde løsningerne til andengradsligningen .
Almindelig formel
redigér
For
a
x
2
+
b
x
=
(
c
x
+
d
)
2
+
e
{\displaystyle ax^{2}+bx=(cx+d)^{2}+e\,\!}
har vi
c
=
a
{\displaystyle c={\sqrt {a}}\,\!}
d
=
b
2
a
{\displaystyle d={\frac {b}{2{\sqrt {a}}}}\,\!}
e
=
−
d
2
=
−
(
b
2
a
)
2
{\displaystyle e=-d^{2}=-\left({\frac {b}{2{\sqrt {a}}}}\right)^{2}\,\!}
Eller
a
x
2
+
b
x
=
(
x
a
+
b
2
a
)
2
−
(
b
2
a
)
2
{\displaystyle ax^{2}+bx=\left(x{\sqrt {a}}+{\frac {b}{2{\sqrt {a}}}}\right)^{2}-\left({\frac {b}{2{\sqrt {a}}}}\right)^{2}\,\!}
Et meget simpelt eksempel er:
x
2
+
4
x
=
x
2
+
4
x
+
4
−
4
=
(
x
+
2
)
2
−
4
{\displaystyle x^{2}+4x=x^{2}+4x+4-4=(x+2)^{2}-4\,\!}
Et andet simpelt eksempel er at finde rødderne af:
x
2
+
6
x
−
16
=
0
x
2
+
6
x
=
16
x
2
+
6
x
+
(
6
2
)
2
=
16
+
(
6
2
)
2
∗
x
2
+
6
x
+
9
=
16
+
9
(
x
+
3
)
2
=
25
(
x
+
3
)
=
±
25
x
+
3
=
±
5
x
=
±
5
−
3
x
=
−
8
,
2
{\displaystyle {\begin{matrix}x^{2}+6x-16&=&0&\\x^{2}+6x&=&16&\\x^{2}+6x+({\frac {6}{2}})^{2}&=&16+({\frac {6}{2}})^{2}&*\\x^{2}+6x+9&=&16+9&\\(x+3)^{2}&=&25&\\(x+3)&=&\pm {\sqrt {25}}&\\x+3&=&\pm 5&\\x&=&\pm 5-3&\\x&=&-8,2&\\\end{matrix}}}
* kvadratkompletteringen
Betragt problemer med at finde følgende integral :
∫
d
x
9
x
2
−
90
x
+
241
{\displaystyle \int {\frac {dx}{9x^{2}-90x+241}}\,\!}
Det kan gøres ved hjælp af kvadratkomplettering af nævneren . Nævneren er
9
x
2
−
90
x
+
241
=
9
(
x
2
−
10
x
)
+
241
{\displaystyle 9x^{2}-90x+241=9(x^{2}-10x)+241\,\!}
Når kvadratet kompletteres ved at lægge (10/2)² = 25 til x ² – 10x fås det perfekte kvadrat x ² – 10x + 25 = (x – 5)². Derfor fås:
9
(
x
2
−
10
x
)
+
241
=
9
(
x
2
−
10
x
+
25
)
+
241
−
9
(
25
)
=
9
(
x
−
5
)
2
+
16
{\displaystyle 9(x^{2}-10x)+241=9(x^{2}-10x+25)+241-9(25)=9(x-5)^{2}+16\,\!}
Hvorfor integralet er
∫
d
x
9
x
2
−
90
x
+
241
=
1
9
∫
d
x
(
x
−
5
)
2
+
(
4
/
3
)
2
=
1
9
⋅
3
4
arctan
3
(
x
−
5
)
4
+
C
{\displaystyle \int {\frac {dx}{9x^{2}-90x+241}}={\frac {1}{9}}\int {\frac {dx}{(x-5)^{2}+(4/3)^{2}}}={\frac {1}{9}}\cdot {\frac {3}{4}}\arctan {\frac {3(x-5)}{4}}+C\,\!}
Som en generalisering af eksempel 2, kan rødderne af:
x
2
+
b
x
+
c
=
0
{\displaystyle x^{2}+bx+c=0\,\!}
findes ved at omforme ligningen, så "x" og "x i anden" ikke længere optræder. For at opnå dette, kompletteres kvadratet: tag halvdelen af koefficienten til "x", kvadrer den, og læg den til på begge sider af lighedstegnet , således:
x
2
+
b
x
+
c
=
0
x
2
+
b
x
=
−
c
x
2
+
b
x
+
(
b
2
)
2
=
−
c
+
(
b
2
)
2
∗
(
x
+
b
2
)
2
=
(
b
2
)
2
−
c
(
x
+
b
2
)
=
±
(
b
2
)
2
−
c
x
=
−
b
2
±
(
b
2
)
2
−
c
{\displaystyle {\begin{matrix}x^{2}+bx+c&=&0&\\x^{2}+bx&=&-c&\\x^{2}+bx+({\frac {b}{2}})^{2}&=&-c+({\frac {b}{2}})^{2}&*\\(x+{\frac {b}{2}})^{2}&=&({\frac {b}{2}})^{2}-c&\\(x+{\frac {b}{2}})&=&\pm {\sqrt {({\frac {b}{2}})^{2}-c}}&\\x&=&-{\frac {b}{2}}\pm {\sqrt {({\frac {b}{2}})^{2}-c}}&\end{matrix}}}
* kvadratkomplettering
Eksempel 4 kan generaliseres yderligere til at finde løsningerne til den generelle andengradsligning
a
x
2
+
b
x
+
c
=
0
{\displaystyle ax^{2}+bx+c=0\,\!}
idet der først foretages kvadratkomplettering således:
a
x
2
+
b
x
+
c
=
a
(
x
2
+
b
x
a
)
+
c
=
a
(
x
2
+
b
x
a
+
(
b
2
4
a
2
−
b
2
4
a
2
)
)
+
c
=
a
(
x
2
+
b
x
a
+
(
b
2
a
)
2
)
−
a
b
2
4
a
2
+
c
=
a
(
x
2
+
2
b
x
2
a
+
(
b
2
a
)
2
)
−
a
b
2
4
a
2
+
c
=
a
(
x
+
b
2
a
)
2
−
a
b
2
4
a
2
+
c
{\displaystyle {\begin{matrix}ax^{2}+bx+c&=&a\left(x^{2}+{\frac {bx}{a}}\right)+c\\&=&a\left(x^{2}+{\frac {bx}{a}}+\left({\frac {b^{2}}{4a^{2}}}-{\frac {b^{2}}{4a^{2}}}\right)\right)+c\\&=&a\left(x^{2}+{\frac {bx}{a}}+\left({\frac {b}{2a}}\right)^{2}\right)-a{\frac {b^{2}}{4a^{2}}}+c\\&=&a\left(x^{2}+2{\frac {bx}{2a}}+\left({\frac {b}{2a}}\right)^{2}\right)-a{\frac {b^{2}}{4a^{2}}}+c\\&=&a\left(x+{\frac {b}{2a}}\right)^{2}-a{\frac {b^{2}}{4a^{2}}}+c\end{matrix}}\,\!}
hvoraf
(
x
+
b
2
a
)
2
=
b
2
4
a
2
−
c
a
x
+
b
2
a
=
±
b
2
4
a
2
−
c
a
x
=
±
b
2
4
a
2
−
c
a
−
b
2
a
=
±
4
a
2
(
b
2
4
a
2
−
c
a
)
2
a
−
b
2
a
=
−
b
±
b
2
−
4
a
c
2
a
{\displaystyle {\begin{matrix}\left(x+{\frac {b}{2a}}\right)^{2}&=&{\frac {b^{2}}{4a^{2}}}-{\frac {c}{a}}\\x+{\frac {b}{2a}}&=&\pm {\sqrt {{\frac {b^{2}}{4a^{2}}}-{\frac {c}{a}}}}\\x&=&\pm {\sqrt {{\frac {b^{2}}{4a^{2}}}-{\frac {c}{a}}}}-{\frac {b}{2a}}\\&=&{\frac {\pm {\sqrt {4a^{2}({\frac {b^{2}}{4a^{2}}}-{\frac {c}{a}})}}}{2a}}-{\frac {b}{2a}}\\&=&{\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}\end{matrix}}\,\!}
Komplekse versioner af kvadratkomplettering
redigér
Betragt udtrykket
|
z
|
2
−
b
∗
z
−
b
z
∗
+
c
,
{\displaystyle |z|^{2}-b^{*}z-bz^{*}+c,\,}
hvor
z
{\displaystyle z}
b
{\displaystyle b}
komplekse tal ,
z
∗
{\displaystyle z^{*}}
b
∗
{\displaystyle b^{*}}
z
{\displaystyle z}
b
{\displaystyle b}
c
{\displaystyle c}
reelt tal . Dette kan udtrykkes på denne måde:
|
z
−
b
|
2
−
|
b
|
2
+
c
,
{\displaystyle |z-b|^{2}-|b|^{2}+c,\,}
som klart er en virkelig mængde. Det er fordi
|
z
−
b
|
2
=
(
z
−
b
)
(
z
−
b
)
∗
=
(
z
−
b
)
(
z
∗
−
b
∗
)
=
z
z
∗
−
z
b
∗
−
b
z
∗
+
b
b
∗
=
|
z
|
2
−
z
b
∗
−
b
z
∗
+
|
b
|
2
{\displaystyle {\begin{matrix}|z-b|^{2}&=&(z-b)(z-b)^{*}\\&=&(z-b)(z^{*}-b^{*})\\&=&zz^{*}-zb^{*}-bz^{*}+bb^{*}\\&=&|z|^{2}-zb^{*}-bz^{*}+|b|^{2}\end{matrix}}}
Ligeledes kan udtrykket
a
x
2
+
b
y
2
+
c
,
{\displaystyle ax^{2}+by^{2}+c,\,}
hvor
a
{\displaystyle a}
x
{\displaystyle x}
b
{\displaystyle b}
y
{\displaystyle y}
c
{\displaystyle c}
a
>
0
{\displaystyle a>0}
b
>
0
{\displaystyle b>0}
z
=
a
x
+
i
b
y
,
{\displaystyle z={\sqrt {a}}x+i{\sqrt {b}}y,}
så
|
z
|
2
=
z
z
∗
=
(
a
x
+
i
b
y
)
(
a
x
−
i
b
y
)
=
a
x
2
−
i
a
b
x
y
+
i
b
a
y
x
−
i
2
b
y
2
=
a
x
2
+
b
y
2
{\displaystyle {\begin{matrix}|z|^{2}&=&zz^{*}\\&=&({\sqrt {a}}x+i{\sqrt {b}}y)({\sqrt {a}}x-i{\sqrt {b}}y)\\&=&ax^{2}-i{\sqrt {a}}{\sqrt {b}}xy+i{\sqrt {b}}{\sqrt {a}}yx-i^{2}by^{2}\\&=&ax^{2}+by^{2}\end{matrix}}}
hvorfor
a
x
2
+
b
y
2
+
c
=
|
z
|
2
+
c
.
{\displaystyle ax^{2}+by^{2}+c=|z|^{2}+c.\,}
