Sætningen om lukkede grafer
Sætningen om lukkede grafer er et grundlæggende resultat i den del af matematikken, der kendes som funktionalanalyse. Sætningen karakteriserer de kontinuerte (begrænsede) lineære operatorer mellem Banachrum ved hjælp af operatorgrafen, som den er defineret nedenfor.
Sætningen redigér
For enhver afbildning T : X → Y defineres grafen af T som mængden .
Sætningen siger da følgende: Hvis X og Y er Banachrum, og T : X → Y er en overaltdefineret lineær operator (dvs. at definitionsområdet D(T) for T er X), da er T kontinuert (eller begrænset), hvis og kun hvis den er en lukket operator; dvs. at grafen er lukket i X×Y (med produkttopologien).
Kravet på definitionsområdet er nødvendigt grundet eksistensen af ubegrænsede, lukkede operatorer.
Hellinger–Toeplitz' sætning, der udsiger, at enhver overalt defineret symmetrisk operator i et Hilbertrum er begrænset, kan betragtes som et direkte korollar til sætningen, idet symmetriske operatorer er lukkede.