Sinusbølge

En sinusbølge (sinussvingning eller sinusoide) er en matematisk funktion der bliver brugt i f.eks. signalanalyse og fysik. I den simpleste form kan den skrives:

Grafisk fremstilling af en sinusbølge

Lyden af en sinusbølge ved 100 Hz

$x(t)=A\cos(\omega t+\phi )$

Det er således en almindelig cosinus (eller sinus) funktion der er skaleret med amplituden (udsvinget) A, forskubbet med et faseskift φ (phi), og frekvensen er ændret med vinkelhastigheden ω (omega).

I stedet for formen med vinkelhastigheden kan den også skrives med frekvensen (den cykliske frekvens) f:

$x(t)=A\cos(2\pi ft+\phi ).$

Den kan også omskrives til at bruge svingningstiden (perioden) $T=1/f$:

$x(t)=A\cos(2\pi t/T+\phi ).$

Endelig kan man skrive en sinusbølge som en sum af komplekse eksponenter

$x(t)={\frac {A}{2}}e^{j(\omega t+\phi )}+{\frac {A}{2}}e^{-j(\omega t+\phi )}.$

hvor j er det imaginære tal ${\sqrt {-1}}$. Denne form nåes ved at anvende den omvendte Eulers formel for cosinus.

Regneregler for sinusbølger

Når to eller flere sinusbølger lægges sammen, og de har samme frekvens, er resultatet en ny sinusbølge med ændret amplitude og ændret fase, dvs.

$\sum _{k=1}^{K}A_{k}\cos(\omega _{0}t+\phi _{k})=A\cos(\omega _{0}t+\phi )$

Sammenlægningen kan udføres ved hjælp af såkaldt "fasoraddition".

Har sinusbølgerne forskellig frekvens vil deres sum ikke være en sinusbølge.

Fasorrepræsentation

En sinusbølges amplitude og faseskift kan også repræsenteres med en såkaldt fasor, der er et komplekst tal. For sinusbølgen $x(t)=A\cos(\omega t+\phi )$ er fasoren:

$X=Ae^{j\phi }$

Dette er en bekvem måde at repræsentere sinusbølger på hvis de har samme frekvens og skal lægges, for eksempel:

$x(t)=x_{1}(t)+x_{2}(t)=A_{1}\cos(\omega _{1}t+\phi _{1})+A_{2}\cos(\omega _{1}t+\phi _{2})$

Fasoren for den resulterende sinusbølge bliver derefter blot en addition med to komplekse tal

$X=X_{1}+X_{2}=A_{1}e^{j\phi _{1}}+A_{2}e^{j\phi _{2}}$

Multiplikation

Bliver to sinusbølger ganget med hinanden svarer det til amplitudemodulation.