Subnormale undergrupper

Subnormale undergrupper er et matematisk begreb som hører til under Gruppeteori. Lad være en gruppe (matematik), en undergruppe i siges at være normal hvis den opfylder en af følgende tre ækvivalente betingelser:

  1. For alle gælder
  2. For alle gælder
  3. For alle gælder

Således er alle undergrupper i en abelsk gruppe normale undergrupper. En undergruppe N af index 2 i er altid normal. Hvis en undergruppe N i er normal skrives det som .

Normale undergrupper opfylder generelt ikke den transitive lov. Således gælder IKKE .

Eksempel redigér

Dette motiverer til at definere Subnormale undergrupper.

  kaldes en subnormal undergruppe, hvis der findes en række af normale undergrupper fra H til  . 
Dvs.  
hvor  . Vi skriver   når H er subnormal i G. Vi kalder r for længden af rækken.

Der findes nødvendigvis ikke kun en række af normale undergrupper fra H til G. En række fra H til G kaldes en minimalrække, hvis den har længde r og ingen række har længde  . Vi skriver længden af en minimalrække fra H til G som  . Har vi givet længden af en minimalrække gælder følgende:

  •  
  •  
  •  

Hvis alle undergrupper i en endelig gruppe G er subnormale så er gruppen nilpotent og omvendt. Denne sammenhæng er vist nederst på siden.

Lad  , den symmetriske gruppe bestående af permutationer af 4 elementer.   har orden 4! = 24.   er ikke abelsk da eksempelvis  . Lad K være Klein's Vierer-gruppe,  , så  . K er abelsk, og der findes en undergruppe   af orden 2 i K så  . Vi kan nu tage alle   og se at  . Vi har altså fundet  , men da H ikke er normal i G, har vi her et eksempel på, at den transitive lov ikke generelt gælder for normale undergrupper.


Hvis   så er   og  .

Bevis Antag  , dvs. at der �findes   Det ses altså, at der er en kæde af normale undergrupper fra A og op til G og idet   er  . Fra antagelsen er   og  , kan vi finde minimalrækker. Sæt   og  . Som vist ovenfor findes der en kæde af normale undergrupper fra A til G af længde m + n, som ikke nødvendigvis er en minimalrække. En minimalrække fra A til G har derfor længde  . Alstå  .

Nilpotent redigér

Vi definere en serie af undergrupper af en vilkårlig gruppe G ved: Den aftagende centralrække for G

 

er fastlagt ved at

 

Den voksende centralrække for G

 

er fastlagt ved

 

Definition En gruppe G kaldes nilpotent hvis der findes et   . Det mindste tal m med   kaldes nilpotensklassen af G. Man siger så, at G er nilpotent af klasse m.

Sætning: For en endelig gruppe G er følgende betingelser ækvivalente:

  1. G er nilpotent.
  2. For enhver undergruppe   er  .
  3. For alle primtal p har G en normal p-Sylow gruppe.
  4. G er et direktet produkt af sine Sylow grupper.

Egenskaber redigér

Her følger et par resultater som viser nogle af de egenskaber der findes omkring subnormale undergrupper.

Lemma Lad  , hvor G er en gruppe, og antag   er en vilkårlig undergruppe, så er  .

Korollar Lad S og T være subnormale undergrupper i G, så er  .

Sætning Lad G være en endelig gruppe og antag at  . Så er  .

Sætning Lad G være endelig. G er nilpotent hvis og kun hvis enhver undergruppe af G er subnormal.

Bevis: "   " Antag at alle undergrupper af G er subnormale. Lad H være en vilkårlig ægte undergruppe i G, hvor H er subnormal i G. Så findes der række af normale undergrupper   hvor  , da ellers H=G. Så der findes  . Da   gælder at   (normalisatoren), så da   er  . Dette er ækvivalent til at G er nilpotent. "   " Antag nu at G er nilpotent, så  , hvor  . Givet et H vises ved induktion (matematik) efter index   at  . Hvis index er 1 må H=G, og der er ikke noget at vise. Antag derfor nu at  . Så er   og  , dette betyder at  . Fra vores induktionsantagelse vil det sige, at   er subnormal i G. Dvs. at