Andengradsligning

Rødderne (løsningerne) til en andengradsligning med koefficienterne , og kan sammenfattes i den viste ligning.

Ved en andengradsligning[1][2][3] forstås en ligning på formen

Størrelserne , og kaldes andengradsligningen koefficienter og er den ubekendte, hvis værdi skal bestemmes med ligningen. Det første led, kaldes andengradsleddet, er førstegradsleddet og er konstantleddet (eller nultegradsleddet). Koefficeienten må kræves at være forskellig fra nul, da ligningen ellers ikke er af anden grad; der er ingen begrænsninger på og . Løsningerne til andengradsligningen kaldes dens rødder; en andengradsligning kan have 0, 1 eller 2 rødder.

Såfremt man arbejder inden for de reele tal , betegnes den ubekendte normalt , men anden navngivning kan forekomme. Hvis ligningen ønskes løst inden for de komplekse tal , betegnes den ubekendte normalt :

Komplekse andengradsligninger behandles i artiklen om komplekse tal.

EksemplerRediger

Ligning    Kommentar
  
  
  
   Samme ligning, blot med som ubekendt
   eller
   "Iklædt" andengradsligning med som ukendt:
  

Løsning af en andengradsligningRediger

Idéen i løsninger er at supplere anden- og førstegradsleddene med yderligere et led, således at de tre led kan omskrives ved hjælp af første kvadratsætning, som her skrives på formen

 

Vi skal nu prøve at identificere   med andengradsleddet   og   med førstegradsleddet  . Imidlertid er   ikke et kvadrat. Men det kan opnås ved at multiplicere ligningen med en snedigt valgt faktor, som dels gør leddet kvadratisk og dels udskyder en trælsom division til allersidst:

        Den givne ligning
 
      Multiplikation med  ; lovligt, da  
 
      Faktorisering og addition af  
 
      Anvendelse af første kvadratsætning.
 
      Konstantled flyttes til højre side
 
      Kombinationen af koefficienterne betegnes  
 

Vi har her indført andengradsligningens diskriminant givet ved

 .

Diskriminantens fortegn bruges til at skelne (diskriminere) mellem antallet af løsninger til ligningen, hvilket udredes i det følgende. Vi arbejder videre med den fundne ligning,

 
      Venstre side er et kvadrat og derfor ikke-negativ.
  Højre side er negativ.
  Lighedstegnet er derfor ikke opfyldt.
  Andengradsligningen har ingen løsninger.
 
          Anvendelse af nulreglen.
      Lovlig division, da  .
  Andengradsligningen har én løsning:  .
 
          Diskriminanten omskrives til  .
      Tredje kvadratsætning benyttes.
      Anvendelse af nulreglen.
      Lovlig division, da  .
  Andengradsligningen har to løsninger:   og  .

Eksempler på løsningerRediger

I alle tilfælde starter man med at beregne diskriminanten  .

Ligning Løsning
    Ingen løsninger
    Én løsning:  
   
To løsninger:  
 
   
To løsninger:

 
 

   
 
 
   
 
 

 
 
 

Normeret andengradsligningRediger

Da  , kan enhver andengradsligning divideres igennem med  , hvorved den får formen

 

Ligningen siges nu at være normeret[4]. En normeret andengradsligning med to rødder   og   kan ifølge nul-reglen skrives på formen[5]

 

eller

 

Ved sammenligning af de to udtryk ser vi at

     Røddernes sum er koefficienten til førstegradsleddet med modsat fortegn
     Røddernes produkt er lig konstantleddet.

Har man en formodning om, at en forelagt ligning har to simple rødder, kan man undertiden bruge disse regler til ved hovedregning at finde rødderne; man siger uformelt, at man kaster et skarpt blik på ligningen.

Eksempel:

I ligningen   er konstantleddet lig  , der kan være produktet af   og  ,   og   samt   og   og   og  . Da summen skal være  , må rødderne være   og  .

Numerisk beregning af rødderRediger

Med ovenstående formler er andengradsligningen   løst matematisk. Men ved praktisk beregning kan der opstå et problem med ciffertab ved subtraktion af to næsten lige store størrelser, fordi beregningen sker med et endeligt antal betydende cifre; for eksempel yder regnearket Excel 14 - 15 betydende cifre (side på engelsk).

I løsningsformlen for en andengradsligning indgår de to størrelser   og  . Hvis

 
 

så bliver differensen

 

med et katastrofalt tab i antallet af betydende cifre.

Dette problem kan man imidlertid undgå ved at udnytte, at røddernes produkt (jfr. forrige afsnit) er  . Algoritmen bliver derfor følgende:

  • Beregn diskriminanten  , der her antages positiv.
  • Hvis  , så er både   og   negative: Sæt   og  .
  • Hvis  , så er både   og   positive: Sæt   og  .

Eksempel:

Andengradsligningen

 

er konstrueret til at have de eksakte rødder   og  . Dens diskriminant er

 .

Vælges  , fås ligningen   og diskriminanten  .

Tabellen herunder viser, hvike resultater man når frem til med de "matematiske" formler for   og   og den "numeriske" formel for  , såfremt alle beregninger udføres med 6 betydende cifre.

               
Klassisk
 
Klassisk
 
Fra  
                   
                   
                   
                   
                   

Som det ses, svigter den klassiske metode i de to sidste situationer, medens den modificerede fremgangsmåde leverer korrekte rødder.

AndengradsulighedRediger

En andengradsulighed [6] er et åbent udsagn af typen

 
 
 
 

hvor  .

Løsningsmængden  , dvs. samlingen ef  -værdier, som gør det åbne udsagn sandt, findes ved først at løse den tilhørende andengradsligning   og derefter foretage en fortegnsundersøgelse for det tilhørende andengradspolynomium  .

Eksempler på andengradsulighederRediger

Eksempel 1

 

Den tilhørende andengradsligning   ses ved anvendelse af løsningsmetoden ovenfor (eller ved at kaste et skarpt blik på den) at have rødderne   og  . Sættes  , fås resultatet  , der ikke er mindre end nul.

 
Fortegnsaksen viser nulpunkter og fortegnsvariation for andengradspolynomiet  .

Polynomiets fortegnsvariation må da være som vist på fortegnsaksen herover. Løsningsmængden   kan nu aflæses:

 

Eksempel 2:

 

Eksempel 3:

 

Eksempel 4:

 
Grafer   og   for de to andengradspolynomier   og  . Løsningsmængden til andengradsuligheden   er vist med et rødt lijestykke. Løsningsmængden til uligheden   er vist med to blå halvlinjer.
 

Uligheden omskrives til standardform:

 

Andengradsligningen   har rødderne   og  , og da udtrykkets værdi for   er negativt, ligger løsningsmængden uden for rodintervallet:

 .

Løsningerne kan illustreres ved at tegne graferne for de to involverede andengradspolynomier,

  og 

Uligheden fra eksempel 1 svarer da til at spørge om, for hvilke  -værdier grafen for   ligger under førsteaksen, medens dobbeltuligheden svar til at spørge om, for hvilke  -værdier grafen for   ligger over eller på grafen for  .

KilderRediger

  1. ^ Erik Kristensen, Ole Rindung: Matematik I, G.E.C.Gads Forlag, 1968, side 156 f.
  2. ^ Jens Carstensen, Jesper Frandsen: Matematik 1, Systime 1988, side 45 f.
  3. ^ Esper Fogh, Knud Erik Nielsen: Vejen til matematik AB 1, Forlaget Hax, 2005, side 43 f.
  4. ^ Kristensen og Rindung, side 162
  5. ^ Holth, Klaus m.fl. (1987): Matematik Grundbog 1. Forlaget Trip, Vejle. ISBN: 87-88049-18-3 (s. 117)
  6. ^ Kristensen og Rindung, side 161