Kovarians

En kovarians er et spredningsforhold mellem to forskellige stokastiske variabler X og Y og betegnes ${\mbox{Cov}}(X,Y)$. Den regnes:

${\mbox{Cov}}(X,Y)={\mbox{E}}[(X-{\mbox{E}}(X))\cdot (Y-{\mbox{E}}(Y))]$

hvor ${\mbox{E}}(X)$ angiver middelværdien for $X$. En fortolkning af formlen er, at hvis $X$ er høj i forhold til sin middelværdi når $Y$ er høj i forhold til sin middelværdi (og ligeledes med lav), varierer $X$ og $Y$ "sammen" (derfra navnet kovarians, ko = sammen).

Kovarians er ikke uafhængig overfor skalering: Hvis $X$ bliver fordoblet, bliver kovariansen også fordoblet. Korrelation er et andet mål, som kan bruges, når man vil undgå dette problem.

Empiriske størrelser

For en stikprøve med $n$ datapunkter $(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})$ og $(y_{1},\dots ,y_{n})$ beregnes empiriske kovarians således:

${\mbox{Cov}}(X,Y)={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{\bar {x}})\cdot (y_{i}-{\bar {y}})$

hvor ${\bar {x}}$ er gennemsnittet af $x$

Regneregler

Rækkefølgen af X og Y er ligegyldig:

$\ {\mbox{Cov}}(X,Y)={\mbox{Cov}}(Y,X)$

Kovariansen mellem en variabel og sig selv er lig variansen:

$\ {\mbox{Cov}}(X,X)={\mbox{Var}}(X)$

Skaleres X og Y med konstanterne a henholdvist b, vil kovariansen skaleres med produktet af de to konstanter:

${\mbox{Cov}}(a\cdot X,b\cdot Y)=a\cdot b\cdot {\mbox{Cov}}(X,Y)$

Kovarians kan også skrives

${\mbox{Cov}}(X,Y)={\mbox{E}}(X\cdot Y)-{\mbox{E}}(X)\cdot {\mbox{E}}(Y)$

Heraf følger, at hvis X og Y er uafhængige, vil kovariansen være nul, da ${\mbox{E}}(X\cdot Y)={\mbox{E}}(X)\cdot {\mbox{E}}(Y)$ for uafhængige variable.

Se også

• Varians
• Korrelation
• Autokovarians

Spire Denne artikel om matematik er en spire som bør udbygges. Du er velkommen til at hjælpe Wikipedia ved at udvide den.