Forhold mellem ortogonale linjer

I analytisk plangeometri findes der en sætning der beskriver forholdet mellem ortogonale (vinkelrette) linjer.

Sætning

To linjer $m_{1}$ og $m_{2}$, med hældningskoefficienterne henholdsvis $\alpha _{1}$ og $\alpha _{2}$, er ortogonale netop, hvis produktet af deres hældninger er $-1$:

$m_{1}\perp m_{2}{\frac {}{}}$ $\Leftrightarrow$ $\alpha _{1}\cdot \alpha _{2}=-1{\frac {}{}}$

Bevis

Ortogonale linjer

Vi betragter tegningen. Kan vi se at;

$m_{1}\perp m_{2}{\frac {}{}}$

Vi benytter os af Pythagoras' læresætning. Og ovenstående må således medføre følgende, da vi må kunne danne en retvinklet trekant (ABC).

$|AB|^{2}+|AC|^{2}=|BC|^{2}{\frac {}{}}$

Vi ser på tegningen. Længden $|BD|$ kan vi se er hældningskoefficienten af ligningen $m_{1}$. Dette må være sandt, da vi går længden én ud af abscisseaksen (x-aksen) må vi gå $\alpha _{1}$ opad ordinataksen (y-aksen). Dette gælder også for $\alpha _{2}$, med den undtagelse at denne er negativ i sig selv. Derfor skriver vi det negative fortegn, således at længden |DC| bliver positiv (da negative længder ingen mening giver). F.eks. $-(-3)=3$.

Længderne |AB| og |AC| er hypotenuser i de to mindre retvinklet trekanter der er indtegnet. Så Pythagoras benyttes også til at beskrive disse. (Meget uformelt sagt, benytter vi nu Pythagoras inden i Pythagoras) Overstående udtryk medfører derfor:

$\left(1^{2}+\alpha _{1}^{2}\right)+\left(1^{2}+\alpha _{2}^{2}\right)=\left(\alpha _{1}+(-\alpha _{2})\right)^{2}$

Dette udtryk reduceres nu bare med elementært algebra:

$1^{2}+\alpha _{1}^{2}+1^{2}+\alpha _{2}^{2}=\alpha _{1}^{2}+\alpha _{2}^{2}-2\cdot \alpha _{1}\cdot \alpha _{2}$

$\Updownarrow$

$2=-2\cdot \alpha _{1}\cdot \alpha _{2}{\frac {}{}}$

$\Updownarrow$

${\frac {2}{-2}}=\alpha _{1}\cdot \alpha _{2}$

$\Updownarrow$

$-1=\alpha _{1}\cdot \alpha _{2}$

Vi ser således at første linje, $m_{1}\perp m_{2}$, medfører den sidste linje, $\alpha _{1}\cdot \alpha _{2}=-1$.

Sætningen er dermed bevist.

$Q.E.D.{\frac {}{}}$