Irrationale tal

Der er for få eller ingen kildehenvisninger i denne artikel, hvilket er et problem. Du kan hjælpe ved at angive troværdige kilder til de påstande, som fremføres i artiklen.

Irrationale tal er i matematikken alle tal der er reelle, men ikke rationale.

De klassiske eksempler er tallet $\pi =3{,}1415926\ldots$ og kvadratroden af to som skrives ${\sqrt {2}}$ . Kvadratrod to er lig med $1{,}414213562373095\ldots$

Et irrationalt tal kan være algebraisk eller transcendent. Et transcendent tal kan ikke være rod i et polynomium med rationale koefficienter – de øvrige irrationale tal kaldes algebraiske.

Hvis et tals decimaler er periodiske vil tallet være rationalt. Men at vise et tal der er irrationalt er straks vanskeligere.

Irrationaliteten af kvadratrod 2 redigér

Her følger et bevis på at kvadratrod 2 er et irrationalt tal.^[1]

Irrationaliteten bevises ved et modstridsbevis. Det antages, at der findes et rationalt tal $r$ , så $r^{2}=2$ ; dvs. at der findes tal $m$ og $n\in \mathbb {N}$ så $r=m/n$ (vi kan uden tab af almengyldighed antage, at $r>0$ , da $(-r)^{2}=r^{2}$ ). Herom kan antages, at brøken $m/n$ er uforkortelig. Det fås altså at: $2=r^{2}=\left({\frac {m}{n}}\right)^{2}={\frac {m^{2}}{n^{2}}}$ , hvilket vil sige at $m^{2}=2n^{2}$ . Det vil sige at $m^{2}$ er lige, og det følger, at $m$ også er lige. Det betyder, at der findes et helt tal $m'$ så $m=2m'$ . Indsat i ovenstående ligning fås at $(2m')^{2}=2n^{2}$ , altså $4m'^{2}=2n^{2}$ og forkortet $2m'^{2}=n^{2}$ . På samme måde som før ses, at $n$ også må være lige. Da både $m$ og $n$ er lige, er brøken $m/n$ nødvendigvis forkortelig med 2, hvilket strider mod antagelsen.

Ogilvie Joseph Louis LaGrange har udtrykt et bevis for dette i en enkel sætning: "It ( ${\sqrt {2}}$ ) cannot be found in fractions, for if you take a fraction reduced to its lowest terms, the square of that fraction will again be a fraction reduced to its lowest terms and consequently cannot be equal to the whole number 2."

Irrationaliteten af kvadratrod 5 redigér

Ved hjælp af et indirekte bevis kan det vises, at kvadratroden af 5 er et irrationalt tal.^[1] Man antager, at det er et rationalt tal, så det kan skrives som en uforkortelig brøk: ${\sqrt {5}}={\frac {p}{q}}$ . Dette kan omskrives til: $5\cdot q^{2}=p^{2}$ . Brøken ${\frac {p}{q}}$ var antaget uforkortelig, det vil sige, at p og q's primfaktoropløsning ikke indeholder nogen fælles primtal. $p^{2}$ og $q^{2}$ vil derfor have et lige antal primfaktorer, da hvert primtal fra før vil forekomme to gange. Og her opstår modstriden: Ligningen $5\cdot q^{2}=p^{2}$ siger, at $p^{2}$ har én primfaktor (5) mere end $q^{2}$ , hvilket ikke kan passe, da de begge har et lige antal primfaktorer (jvf: Aritmetikkens fundamentalsætning). Hermed er det vist, at ${\sqrt {5}}$ er irrationalt. Dette bevis holder for alle primtal, hvilket betyder, at kvadratrødder af alle primtal er irrationale.