Kompakt lineær operator

I funktionalanalysen, en gren af matematikken, betegner en kompakt lineær operator en lineær afbildning mellem to Banachrum X og Y, som opfylder, at billedet af enhver begrænset følge i X har en konvergent delfølge i Y. Mængden af kompakte lineære operatorer er et afsluttet lineært delrum af mængden af begrænsede lineære operatorer. På Hilbertrum er enhver kompakt lineær operator grænseværdien af en følge af lineære operatorer med billedmængde af endelig dimension.

Klassen af kompakte lineære operatorer på Hilbertrum ligner på mange måder klassen af lineær afbildninger mellem endelig dimensionale vektorrum. For eksempel kan mange resultater om spektrum af matricer generaliseres til kompakte operatorer på Hilbertrum. Studiet af kompakte operatorer har rødder og mange anvendelser i integrallignings-teorien.

DefinitionRediger

Lad   og   være Banachrum og   en lineær afbildning. Operatoren   kaldes kompakt, hvis der for enhver begrænset følge   i   gælder, at billedfølgen   har en konvergent delfølge i  . Vi betegner mængden af alle kompakte operatorer fra   til   med  . Hvis  , skriver man kort  .

For alternative definitioner se afsnittet egenskaber.

EksemplerRediger

  • Enhver lineær afbildning mellem Banachrum med billedmængde af endelig dimension er kompakt. Dette følger af kompakheden af afsluttede kugler i endelig dimensionale Banachrum.
  • Det følger af Riesz' Lemma at identitetsoperatoren på et Banachrum   er kompakt, hvis og kun hvis   er endelig dimensionalt.
  • Lad   være et Hilbertrum med ortonormalbasis   og lad   være en begrænset følge af komplekse tal. Vi definerer   og udvider   ved linearitet og kontinuitet til en lineær operator på  , det vil sige, vi definerer
 .
Denne operator hedder diagonaloperatoren med diagonal  . Operatoren   er kompakt, hvis og kun hvis der for diagonalen gælder, at  . [1] Dette kan indses ved at vise, at   er grænseværdien (med hensyn til operatornormen) af diagonaloperatorerne  , hvor   har diagonal  .
  • Enhver Hilbert-Schmidt-operator   på Hilbertrum er kompakt.   er en Hilbert-Schmidt-operator, hvis der gælder   for en ortonormalbasis  . [1]
  • Lad   være et målrum og lad  . Så er operatoren   defineret for   ved
  for alle  
en Hilbert-Schmidt-operator og derfor kompakt.[1]
  • Det følger af ovenstående at Volterra-operatoren  er kompakt. For   er denne operator defineret ved
  for alle  .
  • Operatoren unilateral shift   defineret som   for alle basisvektorer   er ikke kompakt. Dette gælder, fordi følgen   ikke har nogen konvergent delfølge.
  • Hvis   og   er defineret ved   for alle  , så er   kompakt. Mere generelt er nukleare operatorer på Hilbertrum kompakte.[2]

EgenskaberRediger

Ækvivalente definitionerRediger

Der findes en række egenskaber, der er ækvivalente med definitionen af en kompakt operator og som let kan indses ved hjælp af grundlæggende egenskaber af Banachrum. Der findes eksempelvis følgende karakteriseringer, der tydeliggør navnet kompakt operator:

Lad   være en lineær afbildning mellem to Banachrum. So er   en kompakt operator, hvis og kun hvis følgende ækvivalente udsagn gælder:

  • For enhver begrænset mængde   har   en kompakt afslutning.
  • Billedet   af enhedskuglen   i   har en kompakt afslutning.

Egenskaber for BanachrumRediger

I det følgende antager vi, at   og   er  -Banachrum.

  • Det følger umiddelbart af definitionen, at enhver kompakt lineær operator er begrænset, vi har altså  , hvor   betegner mængden af alle begrænsede lineære operatorer fra   til  .
  • Da begrænsethed og kontinuitet er ækvivalente for lineære afbildninger, er enhver kompakt lineær operator også kontinuert.
  • Mængden   af alle kompakte lineære operatorer er et afsluttet lineært delrum af mængden   af alle begrænsede lineære operatorer. Det vil sige, at følgende gælder:
    • Givet operatorer   og et tal  , så gælder der, at   og   også er kompakte operatorer.
    • Hvis   er en følge i  , som konvergerer mod en operator  , så er   også kompakt.
  • En operator, der er sammensat af en kompakt og en begrænset operator er kompakt. Det vil sige det følgende:
    • Hvis   og  , så er  .
    • Hvis   og  , så er  .
I tilfældet hvor   betyder dette, at   er et to-sidet ideal i  .
  • Det følgende resultat er kendt som Schauders Sætning[3]:
Hvis  , så er   kompakt, hvis og kun hvis den adjungerede operator   er kompakt.
  • I modsætning til Hilbertrum, gælder der for Banachrum   generelt ikke, at   er afslutningen (med hensyn til operatornormen) af mængden   af operatorer med billedmængde af endelig dimension. Dette blev vist af Per Enflo i 1987. Det gælder dog for en speciel klasse af Banachrum, nemlig for Banachrum som har en Schauder-basis. Man siger, at disse Banachrum har approksimationsegenskaben. Et eksempel på et Banachrum med approksimationsegenskaben, som ikke nødvendigvis er et Hilbertrum er mængden  , som består af alle kontinuerte funktioner på et kompakt Hausdorffrum  . [3]

Egenskaber for HilbertrumRediger

Et vigtigt resultat for kompakte operatorer mellem Hilbertrum er det følgende. Lad   og   være  -Hilbertrum. Mængden   af kompakte lineære operatorer er afslutningen af mængden   af lineære operatorer med billedmængde af endelig dimension. Følgelig er enhver kompakt lineær operator grænseværdien af en følge af operatorer med billedmængde af endelig dimension. Vi har altså følgende:  .[2] Dette er en følge af Spektralsætning for kompakte lineære operatorer. Der er mange andre vigtige resultater for Hilbertrum, som omhandler spektrum af en kompakt lineær operator (se næste afsnit).

Spektralteori for kompakte lineære operatorerRediger

Resultater om spektrumRediger

Ligesom for lineære afbildninger på et endelig dimensionalt vektorrum (som kan identificeres med kvadratiske matricer) kan man definere egenværdier for lineære begrænsede operatorer på et Banachrum. Et tal   hedder altså egenværdi for en operator  , hvis  , hvor   betegner identitetsoperatoren. For alle ikke-trivielle egenværdier, det vil sige  , defineres det tilsvarende egenrum som   og en vektor   hedder egenvektor for  . Yderligere defineres spektrum af   som  . Denne mængde består for begrænsede linære operatorer i modsætning til matricer ikke altid kun af egenværdierne, men for kompakte operatorer er dette tilfældet.

Vigtige resultater vedrørende egenværdier af kompakte lineære operatorer på et Banachrum er:

  • Enhver kompakt lineær operator har højst et endeligt eller uendeligt tælleligt antal egenværdier. Hvis der er uendeligt mange egenværdier  , så gælder der   og alle egenrum for ikke-trivielle egenværdier er endelig dimensionale.[2]
  • Der findes kompakte lineære operatorer, der ikke har nogen ikke-trivielle egenværdier. Et eksempel er Volterra-operatoren.[3]
  • Det følgende vigtige resultat er kendt som Fredholms Alternativ[1] :
Lad   og  . Så gælder der
  1. Hvis   er injektiv, så er   invertibel.
  2. Hvis   er surjektiv, så er   invertibel.
Hvis man tænker på ovenstående resultat som et udsagn om ligninger af formen   for givet  , så kan man formulerer (1.) og (2.) på en anden måde:
  1. Hvis en løsning til   er unik, så findes en løsning til denne ligning.
  2. Hvis der findes en løsning til   for alle  , så er disse unikke.
  • Det følger af Fredholms Alternativ, at  , det vil sige, spektrum af en kompakt lineær operator består kun af egenværdierne.
  • For en kompakt selvadjungeret lineær operator   på et Hilbertrum gælder  . Yderligere er   eller   en egenværdi af  .[2] I modsætning til generelle kompakte operatorer har vi altså en garanti for eksistensen af ikke-trivielle egenværdier for selvadjungerede kompakte lineære operatorer.
  • For normale kompakte lineære operatorer på Hilbertrum kan man let indse, at egenvektorer for forskellige egenværdier er ortogonale.[2]

Spektralsætningen for selvadjungerede kompakte lineære operatorerRediger

Et vigtigt resultat for kompakte lineære operatorer på Hilbertrum er Spektralsætningen for selvadjungerede kompakte operatorer:[2]

Lad   være et  -Hilbertrum og   selvadjungeret, det vil sige der gælder  . Der findes en (muligvis endelig) følge   i   med   og et (muligvis endeligt) ortogonalsystem   af  , så at der gælder
  for alle  .
Yderligere gælder der for operatornormen af  , at  .
Ovenstående sum konvergerer med hensyn til operatornormen. Her betegner   det indre produkt på  . Følgen   består af alle ikke-trivielle egenværdier af   og   er en egenvektor for   for alle  .

Spektralsætningen for normale kompakte lineære operatorerRediger

Ovenstående sætning for selvadjungerede kompakte operatorer kan generaliseres til normale operatorer, det vil sige operatorer, der opfylder  .[2]

Spektralsætningen for generelle kompakte lineære operatorerRediger

Man kan endelig bevise en generel version af spektralsætningen for en vilkårlig kompakt lineær operator på et Hilbertrum. Herfor viser man først de følgende to vigtige resultater ved hjælp af Spektralsætningen for normale operatorer:

  • For enhver kompakt operator   findes der en unik positiv selvadjungeret operator   så at  . Man skriver  .
  • Der findes yderligere en unik partiel isometri   så at   og  . Denne præsentation kaldes polarformen af  .

Man opnår hermed den følgende vigtige sætning:

Spektralsætningen for generelle kompakte lineære operatorer[2]
Lad   være  -Hilbertrum og  . Der findes en (muligvis endelig) følge   i   med   og (muligvis endelige) ortogonalsystemer   af   og   af   så at der gælder
  for alle  .
Her betegner   det indre produkt på  . Ovenstående sum konvergerer med hensyn til operatornormen. Følgen   består af alle ikke-trivielle egenværdier af  .

AnvendelserRediger

Spektralteorien for kompakte lineære operator kan bruges til at bestemme løsninger til integralligninger, for eksempel ligninger af formen

  for  .

Lad   for næsten alle   og lad   med   og  . Så svarer ovenstående integralligning til  . Denne slags integralligning kaldes Fredholmske integralligninger. Da   er en selvadjungeret kompakt operator, kan man ved hjælp af Spektralsætningen bestemme en løsning   (afhængig af egenværdierne og egenvektorerne).[2]

ReferencerRediger

  1. ^ a b c d MacCluer, Barbara (2009). Elementary functional analysis. s. 82, 86-87, 100-101. ISBN 978-0-387-85528-8. 
  2. ^ a b c d e f g h i Werner, Dirk (2011). Funktionalanalysis. Springer Verlag. s. 269-277, 286-287. ISBN 978-3-642-21016-7. 
  3. ^ a b c Conway, John B. (1997). A course in functional analysis (Second udgave). Springer Verlag. s. 174,175-176. ISBN 3-540-97245-5.