L'Hôpitals regel

L'Hôpitals regel er benævnelsen for en række matematiske regler eller sætninger af Guillaume de l'Hôpital, der benyttes til bestemmelse af en brøks grænseværdi, når både nævner og tæller går mod enten 0 eller ,[1] når den indgående variabel går mod et fast punkt eller mod uendelig.

SætningerneRediger

Reglen deles typisk op i tre hovedsætninger. I det følgende betegner   funktionen  s afledede.

Reglen om 0/0-udtryk, når x går mod et fast punktRediger

Lad   og   være to funktioner, der er definerede nær et punkt  . Antag at både   og   går mod   for  . Hvis brøken   for  , så gælder   for  .

Resultatet gælder, uanset om   er et reelt tal eller  , og både hvis   eller  .

Et bevis for  Rediger

Af ovenstående haves at

  for  

  for  

  for  .

Af de første to ligninger følger, at funktionerne   og   er defineret i et interval   til højre for  . Sættes   kan bevises, at både   og   er kontinuerte på intervallet. Af den tredje ligning følger, at   er defineret i et interval  , hvor det kan antages, at  , da en funktion nødvendigvis må være defineret, for at dens afledede er det. Det betyder, at   i dette interval. Hvis   opfylder   middelværdisætningens antagelser, og der eksisterer et  , så

 ,

hvor  ,   og  , så  , hvorfor brøken   er defineret. At vise at denne brøk har en grænseværdi, er det samme som at vise, at

 .

Det vides imidlertid, at

 ,

og det påstås, at samme   afparerer begge  . da  , gælder

 ,

og ifølge Cauchys middelværdisætning, eksisterer et  , så ovenstående er lig  , men da  , gælder

 ,

hvilket var hvad, der skulle vises. Q.E.D. Bevisgangen for   er stort set identisk med denne.

Reglen om 0/0-udtryk, når x går mod uendeligRediger

Antag, at   og   er definerede på intervallet   og   for   og   for  . Så gælder et lignende resultat som det forrige, hvis brøken   har en grænseværdi. Hvis   for   gælder nemlig   for  , uanset om   eller  .

Reglen om  / -udtrykRediger

Antag, som ved den første regel, at   og   er definerede nær et punkt  , men denne gang at både   og   går mod   for  . Som ved de forrige er resultatet, at hvis   for  , gælder   for  . Som tidligere kan   både være et reelt tal eller plus eller minus uendelig, og resultatet gælder også, hvis  ,   og  .

ReferencerRediger

  1. ^ Se side 17-18 i Hebsgaard, Thomas m.fl. (1995): Matematik højniveau 2 - integralregning og differentialligninger. Forlaget Trip, Vejle. ISBN 87-88049-17-5