Lagrange (fysik)

Lagrangefunktionen (tilsvarende engelsk begreb: Lagrangian) er inden for fysik en skalarfunktion, som for et givet mekanisk system indeholder informationer om samtlige dynamiske egenskaber for systemet (se matematisk definition nedenfor). Lagrangefunktionen er et centralt begreb inden for analytisk mekanik, og indgår i forbindelse med analyse og bestemmelse af bevægelsesligningerne for et mekanisk system.

Joseph-Louis Lagrange (1736-1813), hvorfra funktionens navn har sin oprindelse, var en fransk-sardinsk matematiker, teoretisk fysiker og astronom, som i sit virke bidrog væsentligt til førnævnte felter bl.a. ved at lægge fundamentet til en matematisk reformulering af Newtons love, i hvilken Lagrangefunktionen spiller en central rolle. Lagranges reformulering af mekanikkens love adskiller sig bl.a. fra Newtons formalisme ved at valget af koordinatsystem til beskrivelse af det pågældende system er arbitrært. Newtons formulering af mekanikkens love baserer sig i stor udstrækning på analyse af vektorstørrelser, hvilket i reglen gør kartesiske koordinater at foretrække, alt imens Lagranges tilsvarende formulering (for hvilken det gælder at Lagrangefunktionen spiller en central rolle) anvender generaliserede koordinater i beskrivelsen af systemet. Eksterne bibetingelser behandles systematisk vha. Lagrange-multiplikatorer.

Bevægelsesligningerne for et system, for hvilket Lagrangefunktionen er kendt, udgøres af Euler-Lagrange-ligningerne, som for et system beskrevet ved N generaliserede koordinater (i det generelle tilfælde) vil være et system af N differentiallligninger. Ligningerne fremkommer som et resultat af Hamiltons princip (el. mindstevirkningsprincippet. Se også: "the principle of least action") og variationsregningen; et felt, hvor Joseph-Louis Lagrange ligeledes var blandt pionererne.

Formalismen har (især hvis man medregner de senere bidrag fra i første omgang William Rowan Hamilton) sidenhen spillet en væsentlig rolle i forbindelse med den matematiske formulering af relativitetsteori samt kvantemekanikken, og udgør dermed et væsentligt fundament inden for den moderne fysik.

Definition (klassisk mekanik)Rediger

Lagrangefunktionen   for et mekanisk system er inden for den klassiske mekanik defineret som differencen mellem systemets totale kinetiske energi   og systemets totale potentielle energi  .

 

Hvor   er en funktion af systemets generaliserede koordinater   samt deres første tidsafledede .

Når Lagrangefuntionen er kendt, kan dynamikken af systemet bestemmes vha. Euler-Lagrange-ligningerne.

Euler-Lagrange-ligningerneRediger

  Uddybende artikel: Euler-Lagrange-ligning

Lagrangefunktionen indeholder al information nødvendig til bestemmelse af et givet systems dynamik bortset fra grænsebetingelser. Bevægelsesligningerne for systemet er givet ved Euler-Lagrange-ligningerne.

Det simpleste tilfælde:

For en partikel der bevæger sig i én dimension beskrevet ved koordinaten   er Lagrangefunktionen givet ved:

 

hvor   er hhv. partiklens position og hastighed. Systemets eneste bevægelsesligning er givet ved Euler-Lagrange-ligningen:

 

der ved at evaluere de partielle afledede vil give en differentialligning for partiklens position . Denne ligning er ækvivalent med Newtons anden lov.

Systemer med flere frihedsgrader vil generelt give anledning til et system af koblede differentialligninger.

EksemplerRediger

Konstant accelerationRediger

Som et simpelt eksempel kan tages Lagrangefunktionen for en punktformet masse, der foretager et fald i et konstant tyngdefelt. Den potentielle energi for denne masse er naturligvis

 

hvor   beskriver massens størrelse,   er 9.82 m/s (tyngdeaccelerationen i Danmark) og   massens højde i forhold til et defineret nulpunkt. Den kinetiske energi er givet ved:

 

hvor   betegner koordinaten x differentieret i forhold til tid, altså hastigheden.

Lagrangefunktionen er i dette tilfælde

 

Ved at anvende Euler-Lagrange-ligningen

 

hvor de partielle afledte er

 

fås

 

der er Newtons anden lov for bevægelse med konstant acceleration.

Lagrangefunktionen og HamiltonfunktionenRediger

Hamiltons formalisme er en tæt beslægtet med Lagranges formalisme skitseret ovenfor. Mens Lagrangefunktionen   er en funktion af de generaliserede koordinater   og -hastigheder  , er hamiltonfunktionen   en funktion af de generaliserede koordinater samt de generaliserede impulser  .

 

 

Lagrangefunktionen er relateret til Hamiltonfunktionen vha. Legendre-transformationen: