Naturlig logaritme

Den naturlige logaritme, er en af de vigtigste matematiske funktioner, og den har utallige teoretiske og praktiske anvendelser. Det er en trancendent funktion, hvilket vil sige at den ikke kan defineres ved hjælp af polynomier og roduddragning men er defineret ved hjælp af infinitisimalregning. Det er en logaritmefunktion med grundtallet e, for hvilken der gælder at

Graf for den naturlige logaritme, . Funktionen går mod minus uendelig når går mod nul. Funktionen går langsomt mod uendelig for gående mod uendelig.

Den naturlige logaritme er den inverse funktion af den naturlige eksponentialfunktion.

Til forskel fra andre logaritmer, der som oftest betegnes , hvor a repræsenterer grundtallet, bruger man hyppigst blot notationen for den naturlige logaritme. Mange steder i litteraturen benyttes dog, lidt misvisende, til at betegne den naturlige logaritme.

Siden man begyndte at bruge lommeregnere og computere til at foretage beregninger, er man i mange tilfælde gået over til at anvende naturlige logarimer i stedet for 10-talslogaritmer.

DefinitionRediger

Den naturlige logaritme i punktet   er defineret som integralet af funktionen   fra 1 til  

 .
 
Definitionen på den naturlige logaritme af  , givet ved arealet under  , fra   til  . For   er arealet eksakt  .

RegnereglerRediger

Ud fra definitionen af naturlig logaritme kan man bevise følgende logaritmeregler:

 
 
 

Den første af disse logaritmeregler kan vises ved at benytte substitutionen   som vist her

   
 
 
 

De øvrige regneregler kan vises på lignende måde ud fra definitionen. Derudover gælder følgende regneregler:

 
 

Differentiation og integrationRediger

Differentialkvotienten af   er givet ved følgende:

 

hvilket følger umiddelbart af definitionen.

Det ubestemte integral af   er givet ved

 

RækkerepræsentationerRediger

 
Illustration af hvorledes rækken   konvergerer mod   for   for et stigende antal led   i rækken.

Maclaurinrækken for funktionen   kaldes Mercators række og er givet ved

 

Foretages substitutionen  , finder man følgende rækkerepræsentation for den naturlige logaritme:

 

Denne række, er den simpleste rækkerepræsentation for den naturlige logaritme, men den konvergerer kun forholdsvis langsomt og er altså kun gyldigt i et mindre værdiområde.

Ved at kombinere Mercators række med de basale regneregler for den naturlige logaritme kan man fremkomme med andre interessante rækkerepræsentationer. Foretager man f.eks. substitutionen   skifter fortegnet på alle de ulige led i Mercators rækken

 

Ved hjælp af rækkerepræsentationerne for   og   findes da

 

Dette er en interessant række, idet argumentet   antager alle mulige positive reelle værdier for  . Dette kan benyttes til at udlede en generel rækkerepræsentation for   gældende for hele funktionens værdiområde. Hvis vi definerer

 
 
Illustration af hvorledes rækken   konvergerer mod   for et stigende antal led   i rækken.

kan vi udtrykke   som

 

Derved findes følgende rækkerepræsentation for den naturlige logaritme

 

som altså er gældende for alle positive reelle tal. Rækken konvergerer hurtigst for værdier omkring  , som vist i figuren.

Specielle værdierRediger

Af definitionen på den naturlige logaritme fremgår det at

 

Indsættes   i Maclaurin rækken for   fremkommer den alternerende harmoniske række

   
 
 

Relation til andre logaritmefunktionerRediger

Logaritmefunktionen med grundtal a er relateret til den naturlige eksponentialfunktion ved ligningen

 

Denne ligning kan bruges til at definere de øvrige logaritmefunktioner ud fra den naturlige logaritmefunktion og regnereglerne for for de øvrige logaritmefunktioner følger også umiddelbart ud fra denne ligning. Tilsvarende gælder at

 

Den naturlige logaritmefunktion skiller sig ud blandt logaritmefunktionerne ved at den er simplere at differentiere og integrere.