Reciprokke Fibonacci-konstant

irrationel tal ca. 3,36, sum af de reciprokke fibonacci tal

Den reciprokke Fibonacci-konstant, eller ψ, er defineret som summen af de reciprokke værdier af Fibonacci-tallene:

Da forholdet mellem to på hinanden følgende led, , nærmer sig den reciprokke værdi af det gyldne snit, , og da det er mindre end 1, siger kvotientkriteriet at summen konvegerer.

Værdien af ψ er cirka

[1]

Bill Gosper har beskrevet en hurtig algoritme for beregning af den approksimative værdi. Den reciprokke Fibonacci-række giver O(k) cifres nøjagtighed for k led, mens Gospers konvergens-acceleration giver O(k2) cifre.[2] ψ er et irrationalt tal. Dette blev formodet af Paul Erdős, Ronald Graham og Leonard Carlitz, og bevist i 1989 af Richard André-Jeannin.[3]

Tallets kædebrøks repræsentation er givet ved:

[4]

ReferencerRediger

  1. ^ A079586 hos OEIS
  2. ^ Gosper, William R. (1974), Acceleration of Series, Artificial Intelligence Memo #304, Artificial Intelligence Laboratory, Massachusetts Institute of Technology, s. 66. .
  3. ^ André-Jeannin, Richard (1989), "Irrationalité de la somme des inverses de certaines suites récurrentes", C. R. Acad. Sci. Paris Sér. I Math., 308 (19): 539-541, MR 0999451. 
  4. ^ A079587 hos OEIS

Ekstern henvisningRediger