Sammensat funktion

En sammensat funktion er en matematisk funktion som er dannet ved at lade en den afhængige værdi af én funktion indgå som den uafhængige variabel i en anden funktion. Tilsammen udgør denne sammenstilling én "ny" funktion, som siges at være sammensat af de to oprindelige funktioner. Funktionen $h$ siges at være sammensat af funktionerne $f$ og $g$ (i nævnte rækkefølge), hvis

$h(x)=f(g(x))$

Notation

Ovenstående eksempel kan også skrives som $h(x)=f(g(x))=(f\circ g)(x)$ – det der står efter sidste lighedstegn, læses som f bolle g af x.

I midten af det 20. århundrede mente nogle matematikere dog at det er forvirrende, at den funktion man først bruger, står sidst i ovenstående skrivemåde. De forsøgte at introducere en notation hvor $f(x)$ skulle skrives som $xf$, og $f(g(x))$ som $xgf$. Denne skrivemåde vandt aldrig nogen udbredelse, og ses i dag kun enkelte steder i ældre litteratur om emnet.

En funktion kan også være sammensat af to eller flere "eksemplarer" af den samme funktion, f.eks.

$g(x)=f(f(x))=(f\circ f)(x)$

Til den type sammensatte funktioner har man en særlig skrivemåde, nemlig

$g(x)=f(f(x))=(f\circ f)(x)=f^{2}(x)$

Udtrykket efter det sidste lighedstegn læses som f i anden af x. Tilsvarende har man

$g(x)=f(f(f(x)))=(f\circ f\circ f)(x)=f^{3}(x)$

$g(x)=f(f(f(f(x))))=(f\circ f\circ f\circ f)(x)=f^{4}(x)$

og så videre. Notationen harmonerer godt med skrivemåden $f^{-1}$ for den inverse funktion.

Denne potensskrivemåde må ikke forveksles med den notation man indimellem ser anvendt på de trigonometriske funktioner sinus og cosinus, hvor der skrives $\sin ^{2}x$ og $\cos ^{2}x$ i stedet for de mere entydige skrivemåder hhv. $(\sin x)^{2}$ og $(\cos x)^{2}$.

Forskrift

Hvis begge funktionerne $f$ og $g$ er beskrevet ved deres forskrifter; regneudtryk der bestemmer funktionens værdi for et givent tal $x$, kan man bestemme forskriften for hele den sammensatte funktion $(f\circ g)(x)$ ved at tage forskriften for $g$, og sætte den ind i stedet for det uafhængige $x$ i forskriften for $f$.

Anvendelse

Indenfor differentialregningen har man ofte brug for at "dele" en funktion med en kompliceret forskrift op i flere funktioner med simplere forskrifter: Kender man differentialkvotienten til disse "bestanddele", kan man nemlig beregne forskriften for den "komplicerede" funktions differentialkvotient efter denne formel:

$(f\circ g)^{\prime }(x)=(f(g(x)))^{\prime }=g^{\prime }(x)\cdot f^{\prime }(g(x))$