Sammensat funktion
Der er ingen kildehenvisninger i denne artikel, hvilket er et problem. (september 2011) (Lær hvordan og hvornår man kan fjerne denne skabelonbesked) |
En sammensat funktion er en matematisk funktion som er dannet ved at lade en den afhængige værdi af én funktion indgå som den uafhængige variabel i en anden funktion. Tilsammen udgør denne sammenstilling én "ny" funktion, som siges at være sammensat af de to oprindelige funktioner. Funktionen siges at være sammensat af funktionerne og (i nævnte rækkefølge), hvis
Notation
redigérOvenstående eksempel kan også skrives som – det der står efter sidste lighedstegn, læses som f bolle g af x.
I midten af det 20. århundrede mente nogle matematikere dog at det er forvirrende, at den funktion man først bruger, står sidst i ovenstående skrivemåde. De forsøgte at introducere en notation hvor skulle skrives som , og som . Denne skrivemåde vandt aldrig nogen udbredelse, og ses i dag kun enkelte steder i ældre litteratur om emnet.
En funktion kan også være sammensat af to eller flere "eksemplarer" af den samme funktion, f.eks.
Til den type sammensatte funktioner har man en særlig skrivemåde, nemlig
Udtrykket efter det sidste lighedstegn læses som f i anden af x. Tilsvarende har man
og så videre. Notationen harmonerer godt med skrivemåden for den inverse funktion.
Denne potensskrivemåde må ikke forveksles med den notation man indimellem ser anvendt på de trigonometriske funktioner sinus og cosinus, hvor der skrives og i stedet for de mere entydige skrivemåder hhv. og .
Forskrift
redigérHvis begge funktionerne og er beskrevet ved deres forskrifter; regneudtryk der bestemmer funktionens værdi for et givent tal , kan man bestemme forskriften for hele den sammensatte funktion ved at tage forskriften for , og sætte den ind i stedet for det uafhængige i forskriften for .
Anvendelse
redigérIndenfor differentialregningen har man ofte brug for at "dele" en funktion med en kompliceret forskrift op i flere funktioner med simplere forskrifter: Kender man differentialkvotienten til disse "bestanddele", kan man nemlig beregne forskriften for den "komplicerede" funktions differentialkvotient efter denne formel: