Rotationsmekanik: Forskelle mellem versioner
Content deleted Content added
Inc (diskussion | bidrag) →Dynamik: + rotationsenergi Tag: 2017-kilderedigering |
Inc (diskussion | bidrag) →Klassisk mekanik: + roterende legemes inertimoment Tag: 2017-kilderedigering |
||
Linje 6:
== Klassisk mekanik ==
{{Hovedartikel|Klassisk mekanik}}
I dette afsnit beskrives rotationsmekanikken inden for klassiske mekanik. Først ses der på en [[punktpartikel]] - det vil sige, at den ikke har noget volumen og dermed kun findes i et enkelt punkt - og derefter på roterende legemer med volumen..
===
Egentlig findes punktpartikler ikke, men i mange systemer kan en et legeme siges approksimativt kun at være et enkelt punkt. Fx kan [[Jorden]] i sit kredsløb om [[Solen]] i høj grad approksimeres som en punktpartikel, da kredsløbet er meget større end Jorden.
==== Kinematik ====
{{hovedartikel|Kinematik}}
[[Fil:Vectors in polar coordinates.PNG|300px|thumb|right|En punktpartikel bevæger sig om [[origo]].]]
I et simplere tilfælde end en kugle kan man betragte en [[punktpartikel]], der bevæger sig jævnt i en cirkel i to dimensioner omkring et punkt ([[origo]]).
===== Kinematiske størrelser for rotation =====
Partiklens position kan nu beskrives med afstanden <math>r</math>, som er konstant, samt vinklen <math>\theta</math>. Da partiklen bevæger sig, ændrer vinklen sig. Man kan altså definere [[vinkelhastighed]]en <math>\omega</math> som ændringen i vinklen over tid <math>t</math>.
{{Equation box 1
Line 35 ⟶ 38:
|background colour=white}}
===== Relation til lineær kinematik =====
Det ses, at disse størrelser altså blot et rotationens svar på den lineære [[position]] <math>\vec{x}</math>, [[hastighed]] <math>\vec{v}</math> og [[acceleration]] <math>\vec{a}</math>. De to beskrivelser kan desuden relateres til hinanden. Fra [[trigonometri]]en vides det, at <math>\vec{x}</math> kan beregnes ud fra [[cosinus]] og [[sinus]]:
:<math> \vec{x} =r {\cos(\theta) \choose \sin(\theta) }</math>
Line 75 ⟶ 78:
Det er nu lykkedes at opstille kinematiske størrelser, som er mere passende til at beskrive rotation. Det er nu tid til at fortsætte med de dynamiske størrelser.
==== Dynamik ====
{{hovedartikel|Dynamik}}
===== Impulsmoment og kraftmoment =====
For at beskrive rotationsdynamik, er det nødvendigt at definere størrelser, der kan erstatte [[Impuls (fysik)|impuls]] <math>\vec{p}</math>, [[kraft]] <math>\vec{F}</math> og [[Masse (fysik)|masse]] <math>m</math>. Impuls er givet ved:
:<math>\vec{p}=m\vec{v}</math>
Line 116 ⟶ 119:
Dette viser, at definitionen var velvalgt. Ved at have en bevaret størrrelse er det muligt at sammenligne fysiske systemer før og efter.
===== Vinkler og inertimoment =====
[[Fil:2008 Christmas On Ice40.jpg|300px|thumb|right|Når en skøjteløber trække armene til sig, falder inertimomentet, mens impulsmomentet er bevaret. Derfor begynder skøjteløberen at rotere hurtigere.]]
Ved at bruge udtrykket for vinkelhastighed kan størrelsen på impulsmomentet udtrykkes som:
Line 151 ⟶ 154:
|background colour=white}}
===== Rotationsenergi =====
Det er nu muligt at finde et udtryk for den [[Kinetisk energi|kinetiske energi]] forbundet med rotations. Udtrykt med linær fart, er den kinetiske energi <math>E_{kin}</math> givet ved:
:<math>E_{kin}=\frac{1}{2}mv^2</math>
For det roterende tilfælde er energien det samme, men fart kan i stedet udtrykkes med vinkelhastigheden:
:<math>E_{
Det ses, at udtrykket for inertimomentet indgår så derfor:
{{Equation box 1
|title=
|indent=:
|equation=<math>E_{
|cellpadding = 6
|border = 1
Line 166 ⟶ 169:
|background colour=white}}
Derved er den kinetiske energi blevet udtrykt vha. rotationelle termer.
=== Roterende legemer ===
Det er nu tid til at se på legemer, der har en udstrækning i rummet.
Et roterende legeme kan ses som bestående af en masse små punktpartikler, der alle har forskellig afstand til rotationsaksen og evt. også forskellig masse, hvis legemets [[massedensitet]] ikke er uniform. For <math>N</math> partikler, der udgør et roterende legeme, må rotationsenergien <math>E_{rot}</math> være:
:<math>E_{rot}=\frac{1}{2}(m_1r_1^2+m_2r_2^2+...m_Nr_N^2)\omega^2</math>
eller mere kompakt:
:<math>E_{rot}=\frac{1}{2}\left(\sum_{i=1}^Nm_ir_i^2\right)\omega^2</math>
Denne sum må altså inertimomentet for et roterende legeme:
{{Equation box 1
|title=
|indent=:
|equation=<math>I=\sum_{i=1}^Nm_ir_i^2</math>
|cellpadding = 6
|border = 1
|border colour = black
|background colour=white}}
Her ses punktpartiklerne som diskrete enheder. For det kontinuere tilfælde må man integrere over masserne:
:<math>I=\int r^2 dm</math>
Hvis et infinitesimalt volumen <math>dV</math> har massedensiteten <math>\rho</math>, har man:
:<math>dm=\rho dV</math>
Og dermed:
{{Equation box 1
|title=
|indent=:
|equation=<math>I=\int \rho r^2 dV</math>
|cellpadding = 6
|border = 1
|border colour = black
|background colour=white}}
hvor der altså integreres over hele det roterende legemes volumen.
== Kildehenvisninger ==
| |||