Partikel i en boks: Forskelle mellem versioner

4.534 bytes tilføjet ,  for 2 år siden
1D-løsning
(→‎Potentialet: + Potentialet)
Tags: Mobilredigering Mobilwebredigering Avanceret redigering fra mobil
(1D-løsning)
Tag: 2017-kilderedigering
:<math>V(x) =
\begin{cases}
0, & x_c-\tfrac{L}{2}0 < x <x_c+\tfrac{L}{2},\\
\infty, & \text{otherwiseellers,}
\end{cases},
</math>
hvor <math>L</math> er sidelængden, og <math>x_c</math> er midten. Dette er for én dimension (<math>x</math>), men for flere dimensioner skal betingelsen blot gentages for hver dimension.<ref name="Griffiths 61731">Griffiths, David J. "Gauss'The infinite square Lawwell", ''Introduction to Quantum Mechanics'' (2. udgave), Pearson Educated Limited, 2014, s. 31-38. ISBN 978-1-292-02408-0.</ref>
 
== Løsningen i 1D ==
For den én-dimensionelle boks er den tidsuafhængige Schrödinger-ligning:
:<math>E \psi = \left(-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2 }{\partial x^2} + V(\vec{x})\right) \psi</math>
I boksen er potentialet 0, og ligningen kan derfor reduceres til:
:<math>E \psi = -\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2 \psi}{\partial x^2}</math>
Det uendelige potential kan implementeres ved at kræve at bølgefunktionen er 0 i siderne, da partiklen ikke kan forlade boksen:
:<math>\psi(0)=\psi(L)=0</math>
Dette er [[grænsebetingelse]]rne og gælder desuden generelt for [[stående bølge]]r.
Det ses, at Schrödinger-ligningen er reduceret til [[differentialligning]]en for en [[bølge]]:
:<math>\frac{\partial^2 \psi}{\partial x^2}=-\frac{2mE}{\hbar^2}\psi</math>
hvor den generelle løsning kan skrives som:
:<math>\psi(x)=A\cos\left(\frac{\sqrt{2mE}}{\hbar}x\right)+B\sin\left(\frac{\sqrt{2mE}}{\hbar}x\right)</math>
Hvis 0 sættes ind skal bølgefunktionen også være 0:
:<math>\begin{align}0&=\psi(0)=A\cos\left(0\right)+B\sin(0)\\
0&=A\end{align}</math>
[[Cosinus]]-funktionen falder altså ud:
:<math>\psi(x)=B\sin\left(\frac{\sqrt{2mE}}{\hbar}x\right)</math>
hvor faktoren foran <math>x</math> er [[bølgetal]]let <math>k</math>:
:<math>k=\frac{\sqrt{2mE}}{\hbar}</math>
Sammenhængen mellem bølgetal og [[bølgelængde]] <math>\lambda</math> er:
:<math>k=\frac{2\pi}{\lambda}</math>
 
Efter <math>x=0</math> er sinusfunktionen 0 for hver halve bølgelængde. For at bølgefunktionen skal opfyldes grænsebetingelserne, skal det altså gælde, at:
:<math>L=n\frac{\lambda}{2}</math>
hvor <math>n</math> er et [[naturligt tal]], der angiver antallet af halve bølgelængder inden for <math>L</math>. Bølgetallet er dermed også givet ved:<ref name="Griffiths 31"/>
:<math>k=\frac{\pi n}{L}</math>
 
=== Energiniveauer ===
Ved at sætte de to udtryk for bølgetallet lig hinanden
:<math>\frac{\sqrt{2mE_n}}{\hbar}=\frac{\pi n}{L}</math>
kan partiklens energi bestemmes:
{{Equation box 1
|title=
|indent=:
|equation=<math>E_n=\frac{\pi^2 \hbar^2 n^2}{2mL^2}</math>
|cellpadding = 6
|border = 1
|border colour = black
|background colour=white}}
Det ses, at der er et energiniveau for hver værdi af <math>n</math>. Da <math>n</math> kun kan antage diskrete værdier, kan <math>E_n</math> altså også kun antage diskrete værdier. Dette er stik imod det [[Klassisk mekanik|klassiske]] tilfælde, hvor en partikel kan have en hvilken som helst [[kinetisk energi]].<ref name="Griffiths 31"/>
 
=== Bølgefunktionen ===
Den tilsvarende bølgefunktion for <math>E_n</math> er:
:<math>\psi_n(x)=B\sin\left(\frac{\pi n}{L}x\right)</math>
Dette skal normaliseres:
 
:<math>\begin{align}1&=\int_0^L\psi_n^*(x)\psi_n(x)dx=|B|^2\int_0^L\sin^2\left(\frac{\pi n}{L}x\right)dx=\frac{|B|^2L}{2}\\
|B|^2&=\frac{2}{L}\end{align}</math>
Den simpleste løsning for <math>B</math> er bare [[Reelle tal|reel]]:
:<math>B=\sqrt{\frac{2}{L}}</math>
Altså er bølgefunktionen for <math>E_n</math>
{{Equation box 1
|title=
|indent=:
|equation=<math>\psi_n(x)=\sqrt{\frac{2}{L}}\sin\left(\frac{\pi n}{L}x\right)</math>
|cellpadding = 6
|border = 1
|border colour = black
|background colour=white}}
Da hver bølgefunktion passer til en bestemt energi, kaldes de for energi-egentilstande. Tilstanden, hvor <math>n=1</math>, er
grundtilstanden, mens de andre tilstande er eksiterede tilstande med højere energi.
 
Den tidsafhængige løsningen for egentilstanden kan hurtigt findes ved at gange en faktor på:<ref name="Griffiths 31"/><ref name="Griffiths 29">Griffiths, David J. "The infinite square well", ''Introduction to Quantum Mechanics'' (2. udgave), Pearson Educated Limited, 2014, s. 29. ISBN 978-1-292-02408-0.</ref>
{{Equation box 1
|title=
|indent=:
|equation=<math>\Psi_n(x,t)=\sqrt{\frac{2}{L}}\sin\left(\frac{\pi n}{L}x\right)e^{-i\frac{E_n}{\hbar}t}</math>
|cellpadding = 6
|border = 1
|border colour = black
|background colour=white}}
Denne faktor giver en rotation i det komplekse plan, men ændrer ikke på de målbare størrelser.
 
De meste generelle løsninger til partiklen i en boks er dog lineære kombinationer af disse egentilstande:
{{Equation box 1
|title=
|indent=:
|equation=<math>\Psi(x,t)=\sum_{n=1}^{\infty}c_n\Psi_n(x,t)</math>
|cellpadding = 6
|border = 1
|border colour = black
|background colour=white}}
Hvis et system består af en lineær kombination, vil sandsynligheden <math>P</math> for at måle energien <math>E_n</math> være givet ved:<ref name="Griffiths 31"/>
:<math>P(E_n)=|c_n|^2</math>
Eksempler på lineære kombinationer er givet i figuren.
 
== Kildehenvisninger ==
12.070

redigeringer