Partikel i en boks: Forskelle mellem versioner
Content deleted Content added
Inc (diskussion | bidrag) m →Potentialet: Kildefix Tag: 2017-kilderedigering |
Inc (diskussion | bidrag) Udvidet Tag: 2017-kilderedigering |
||
Linje 76:
|background colour=white}}
Da hver bølgefunktion passer til en bestemt energi, kaldes de for energi-egentilstande. Tilstanden, hvor <math>n=1</math>, er
grundtilstanden, mens de andre tilstande er
[[Fil:1D Wavefunctions with Energies.svg|thumb|right|300px|De tidsuafhængige løsninger for de tre laveste energiniveauer. Det ses, at bølgelængden bliver kortere for hver energitilstand.]]
Den tidsafhængige løsningen for egentilstanden kan hurtigt findes ved at gange en faktor på:<ref name="Griffiths 31"/><ref name="Griffiths 29">Griffiths, David J. "Stationary states", ''Introduction to Quantum Mechanics'' (2. udgave), Pearson Educated Limited, 2014, s. 29. ISBN 978-1-292-02408-0.</ref>▼
Inden den tidsafhængige løsning findes, kan bølgefunktionen symmetri undersøges lidt nærmere. Hvis koordinaterne flyttes, så <math>x=0</math> er midten af boksen
:<math>x \rightarrow x+\frac{L}{2}</math>
er bølgefunktionen nemlig:
:<math>\begin{align}\psi_n(x)&=\sqrt{\frac{2}{L}}\sin\left(\frac{\pi n}{L}\left(x+\frac{L}{2}\right)\right)\\
\psi_n(x)&=\sqrt{\frac{2}{L}}\sin\left(\frac{\pi n}{L}x+\frac{\pi}{2}n\right)\end{align}</math>
For hver stigning i <math>n</math> bliver bølgen rykket med en kvart [[fase]] og er derved en cosinus-funktion for ulige <math>n</math>, men en sinus-funktion for lige <math>n</math>.
:<math>\psi_n(x) =
\begin{cases}
(-1)^{n-1}\sqrt{\frac{2}{L}}\cos\left(\frac{\pi n}{L}x\right), & \text{ulige } n\\
(-1)^n\sqrt{\frac{2}{L}}\sin\left(\frac{\pi n}{L}x\right), & \text{lige } n
\end{cases}
</math>
Dvs. at bølgefunktionen skifter mellem at være symmetrisk og antisymmetrisk omkring midten af brønden. Om dette har fysisk betydning er beskrevet i afsnittet om [[sandsynlighedsfordeling]]en.
▲
{{Equation box 1
|title=
Line 87 ⟶ 102:
|border colour = black
|background colour=white}}
Denne faktor er tidsafhængig og giver en rotation i det [[komplekse plan
De meste generelle løsninger til partiklen i en boks er dog lineære kombinationer af disse egentilstande:
Line 101 ⟶ 116:
:<math>P(E_n)=|c_n|^2</math>
Eksempler på lineære kombinationer er givet i figuren.
== Sandsynlighedstætheden ==
Sandsynlighedstætheden <math>\rho</math> i forhold til position er nu givet ved:
:<math>\rho(x,t)=\Psi(x,t)^*\Psi(x,t)</math>
=== For egentilstandene ===
[[Fil:1D Probability Density with Energies.svg|thumb|right|300px|Sandsynlighedsfordelingen for de tre laveste energiniveauer. Alle fordelingerne er symmetriske, men der er både områder med høj sandsynlighed (toppene) for at finde partiklen, samt områder med lav sandsynlighed (dalene).]]
For energi-egentilstandene giver dette:
:<math>\begin{align}\rho_n(x,t)&=\sqrt{\frac{2}{L}}\sin\left(\frac{\pi n}{L}x\right)e^{i\frac{E_n}{\hbar}t}\sqrt{\frac{2}{L}}\sin\left(\frac{\pi n}{L}x\right)e^{-i\frac{E_n}{\hbar}t}\\
\rho_n(x,t)&=\frac{2}{L}\sin^2\left(\frac{\pi n}{L}x\right)e^{i\frac{E_n}{\hbar}t-i\frac{E_n}{\hbar}t}\\
\rho_n(x,t)&=\frac{2}{L}\sin^2\left(\frac{\pi n}{L}x\right)e^0\end{align}</math>
Det ses, at sandsynlighedstætheden er uafhængig af tiden:
{{Equation box 1
|title=
|indent=:
|equation=<math>\rho_n(x,t)=\frac{2}{L}\sin^2\left(\frac{\pi n}{L}x\right)</math>
|cellpadding = 6
|border = 1
|border colour = black
|background colour=white}}
Selvom bølgefunktionen er [[Komplekse tal|kompleks]] med mulighed for at være negativ, er sandsynlighedstætheden altså reel og aldrig negativ. Desuden er sandsynlighedstætheden altid symmetrisk; dette giver også mening, da boksen er symmetrisk.
=== Generelt ===
[[Fil:Particle in a box (time evolution).gif|thumb|right|300px|Sandsynlighedsfordelingen for en lineær kombination af grundtilstanden og den første exciterede tilstand.]]
For en lineær kombination af egentilstandene er sandsynlighedsfordelingen generelt:
:<math>\rho(x,t)=\frac{2}{L}\sum_{n, m}^{\infty}c_n^*c_m\sin\left(\frac{\pi n}{L}x\right)\sin\left(\frac{\pi m}{L}x\right)e^{i\frac{E_n-E_m}{\hbar}t}</math>
Det ses, at de tidsafhængig faktor ikke længere forsvinder for led, hvor <math>n\ne m</math>. Generelt kan sandsynlighedsfordelingen altså godt ændre sig over tid, når partiklen ikke er i en energi-egentilstand.<ref name="Griffiths 31"/>
== Kildehenvisninger ==
| |||