Partikel i en boks: Forskelle mellem versioner

1.421 bytes tilføjet ,  for 2 år siden
m (→‎Bølgefunktionen: internt link)
Tag: 2017-kilderedigering
Tag: 2017-kilderedigering
 
=== Generelt ===
[[Fil:Particle in a box (time evolution).gif|thumb|right|300px|Sandsynlighedsfordelingen for en lineær kombination af grundtilstanden og den første exciterede tilstand.]]
For en lineær kombination af egentilstandene er sandsynlighedsfordelingen generelt:
:<math>\rho(x,t)=\frac{2}{L}\sum_{n, m}^{\infty}c_n^*c_m\sin\left(\frac{\pi n}{L}x\right)\sin\left(\frac{\pi m}{L}x\right)e^{i\frac{E_n-E_m}{\hbar}t}</math>
Det ses, at den tidsafhængig faktor ikke forsvinder for led, hvor <math>n\ne m</math>. Generelt kan sandsynlighedsfordelingen altså godt ændre sig over tid, når partiklen ikke er i en energi-egentilstand.<ref name="Griffiths 31"/>
 
De multiplicerede sinusfunctioner kan i øvrigt omskrives for at gøre bølgefunktionen lettere at evaluere:
:<math>\rho(x,t)=\frac{2}{L}\sum_{n, m}^{\infty}c_n^*c_m\sin\left(\frac{\pi n}{L}x\right)\sin\left(\frac{\pi m}{L}x\right)e^{i\frac{E_n-E_m}{\hbar}t}</math>
 
=== Eksempel ===
[[Fil:Particle in a box (time evolution).gif|thumb|right|300px|Sandsynlighedsfordelingen for en lineær kombination af grundtilstanden og den første exciterede tilstand.]]
Et eksempel på en blandet tilstand er ligelig kombination af første og anden energi-egentilstand. Bølgefunktion er da:
:<math>\Psi(x,t)=\sqrt{\frac{1}{L}}\sin\left(\frac{\pi}{L}x\right)e^{-i\frac{E_1}{\hbar}t}+\sqrt{\frac{1}{L}}\sin\left(\frac{2\pi}{L}x\right)e^{-i\frac{E_2}{\hbar}t}</math>
mens sandsynlighedsfordelingen er givet ved:
:<math>\begin{align}\rho(x,t)&=\frac{1}{L}\sin^2\left(\frac{\pi}{L}x\right)+\frac{1}{L}\sin^2\left(\frac{2\pi}{L}x\right)+\frac{1}{L}\sin\left(\frac{\pi}{L}x\right)\sin\left(\frac{2\pi}{L}x\right)\left(e^{-i\frac{E_2-E_1}{\hbar}t}+e^{i\frac{E_2-E_1}{\hbar}t}\right)\end{align}</math>
Det ses, at det tredje led er tidsafhængigt, og denne blandede tilstand er derfor ikke stationær. I animationen vises, hvordan sandsynlighedsfordelingen ændrer sig over tid.
 
Udtrykket for sandsynlighedsfordelingen kan dog godt skrives lidt mere kompakt:
:<math>\begin{align}\rho(x,t)&=\frac{1}{L}\sin^2\left(\frac{\pi}{L}x\right)+\frac{1}{L}\sin^2\left(\frac{2\pi}{L}x\right)+\frac{2}{L}\sin\left(\frac{\pi}{L}x\right)\sin\left(\frac{2\pi}{L}x\right)\cos\left(\frac{E_2-E_1}{\hbar}t\right)\end{align}</math>
 
== Kildehenvisninger ==
12.070

redigeringer