Wikipedia

Kvadratsætninger: Forskelle mellem versioner

Gennemse historikken interaktivt
← Gå til forrige forskelGå til næste forskel →
Content deleted Content added
VisueltWikitekst
m Glenn flyttede siden Kvadratsætningen til Kvadratsætninger
Ny, udvidet version med instruktive illustrationer og flere kilder.
Linje 1:
{{harflertydig4|For andre betydninger af ordet Kvadrat, se [[Kvadrat (flertydig)]].}}
Ved '''kvadratsætningerne''' forstår man tre ligninger, som viser sig nyttige ved mange elementære omskrivninger inden for matematisk algebra
[[File:Kvadreringsregeln.png|thumb|<math>(a+b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab</math>]]
<ref>Tommy Boch: ''Mængder og tal'', Forlaget FAG, 1982, side 2.</ref>
'''Kvadratsætningen''' siger, hvordan [[kvadrat]]et af to adderede tal udregnes eller [[Reduktion (matematik)|reduceres]].
<ref>Jens Carstensen, Jesper Frandsen: ''Matematik 1 for obligatorisk niveau'', Systime, 1988, side 27.</ref>
Ligningen er: <math>(a + b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab\,</math>
<ref>Jens Carstensen, Jesper Frandsen: ''Matematik 1'', Systime, 1997, side 14.</ref>
<br />Sagt med ord: kvadratet af en to-leddet størrelse er lig med kvadratet på første led plus kvadratet på andet led plus det dobbelte produkt.
<ref>Knud Erik Nielsen, Esper Fogh: ''Vejen til matematik AB1'', Forlaget Hax, 2005, side 24 - 25.</ref>.
 
==Kvadratsætningerne==
Det er en regel, man stifter bekendtskab med i [[Gymnasium|gymnasiet]]. Generelt bruges den flittigt inden for det meste [[matematik]]. Et eksempel er [[Andengradsligning#Udledning af løsningsformlen|udledningen af løsningen]] til [[andengradsligning]]en.
De er de følgende tre:
 
:Første kvadratsætning: <math>{\color{Green} (a + b)^2} = {\color{Red} a^2} + {\color{NavyBlue} b^2} + {\color{BurntOrange}2 \cdot a \cdot b }</math>
:Anden kvadratsætning: <math>{\color{Green} (a - b)^2} = {\color{Red} a^2} + {\color{NavyBlue} b^2} - {\color{BurntOrange}2 \cdot a \cdot b }</math>
:Tredie kvadratsætning: <math>{\color{Green} (a + b)} \cdot {\color{Red} (a - b)} = {\color{NavyBlue} a^2} - {\color{BurntOrange} b^2}</math>
 
Størrelserne <math>a</math> og <math>b</math> kan være simple tal eller sammensatte udtryk, jfr. eksemplerne [[#Eksempler på anvendelse|herunder]].
== Varianter ==
 
Sætningerne kan huskes ved hjælp af følgende remser:
Der er flere varianter af kvadratsætningen. F.eks. kan nævnes:
* <math>(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2</math>
 
:”<span style="color:#279363">Kvadratet på en <u>sum</u> af to led</span> er lig <span style="color:#DA3040">kvadratet på første led</span> <u>plus</u> <span style="color:#2C80BC">kvadratet på andet led</span> <u>plus</u> <span style="color:#F5A73F">det dobbelte produkt</span>”.
* <math>(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\,</math> (Subtraktion af b fra a)
* <math>(a + b) \cdot (a - b) = a^2 - b^2\,</math>
 
:”<span style="color:#279363">Kvadratet på en <u>differens</u> af to led</span> er lig <span style="color:#DA3040">kvadratet på første led</span> <u>plus</u> <span style="color:#2C80BC">kvadratet på andet led</span> <u>minus</u> <span style="color:#F5A73F">det dobbelte produkt</span>”.
== Udledning ==
 
:”<span style="color:#279363">To leds sum</span> ganget med <span style="color:#DA3040">de samme to leds differens</span> er lig med <span style="color:#2C80BC">kvadratet på første led</span> minus <span style="color:#F5A73F">kvadratet på andet led</span>”.
Ligningen udledes forholdsvis nemt. Det kan gøres for et vilkårligt [[Legeme (matematik)|legeme]], men mange gange er det de [[reelle tal]] man arbejder med.
 
==Produkt af to flerledede strørrelser==
<math>(a + b)^2 =\,</math> (definition af heltallig potens, <math>a^n = a\cdot{a}\cdot\ldots{n}\mbox{ gange}\ldots\cdot{a}\cdot{a}</math>)
 
Sætningerne følger elementært af den generelle regel for udregning af produktet af to flerledede størrelser:
<math>(a + b) \cdot (a + b) =\,</math> (højre del betragtes som et selvstændigt tal, og der ganges ind i parentesen – distributive love)
 
:”Hvert led i den ene faktor ganges med hvert led i den anden faktor”.
<math>a \cdot (a + b) + b \cdot (a + b) =\,</math> (ganger ind i parenteserne igen)
 
For eksempel er
<math>a \cdot a + a \cdot b + b \cdot a + b \cdot b =\,</math> (flytter rundt – kommutative love – og samler sammen)
 
:<math>(a + b) \cdot (c + d + e) = a \cdot c + a \cdot d + a \cdot e + b \cdot c + b \cdot d + b \cdot e</math>
<math>a^2 + 2ab + b^2\,</math>
 
Reglen kan bruges til f. eks. at bevise den tredje kvadratsætning:
Bemærk at der er sat lighedstegn hele vejen ned igennem udledningen, og at de alle er gyldige, hvorfor man kan tage det første og sidste led ud. Det er sådan man skriver ligningen op:
 
:<math>(a + b)^2 \cdot (a - b) = a^2 +\cdot 2aba - a \cdot b + b \cdot a - b \cdot b = a^2 - b^2</math>
 
==Geometriske illustrationer==
== Brug i reduktion ==
I det tilfælde, at <math>a > b > 0</math>, altså hvor <math>a</math> og <math>b</math> er positive og <math>a</math> er størst, kan man indse rigtigheden af de tre kvadratsætninger ved hjælp af simple illustrationer:
 
{| class="wikitable"
Da det er en ligning kan den bruges begge veje. Hvis man har noget på formen <math>(a + b)^2</math> og ønsker noget på formen <math>a^2 + 2ab + b^2</math>, så kan man gøre det – men også omvendt.
| [[Fil:SquareOfSum.svg|center|350px|alt=Første kvadratsætning]]
| [[Fil:SquareOfDifference.svg|center|350px|alt=Anden kvadratsætning]]
|-
| Af figuren aflæses umiddelbart, at <math>(a + b)^2</math> kan sammenstykkes af <math>a^2</math>, <math>b^2</math> og to gange <math>a \cdot b</math>, hvilket illustrerer første kvadratsætning.
| Af figuren aflæses, at <math>a^2</math> kan sammenstykkes af <math>(a - b)^2</math>, <math>b^2</math> og to gange <math>(a - b) \cdot b</math>, dvs. <math>a^2 =(a - b)^2 + b^2 + 2 \cdot (a - b) \cdot b = </math><math>(a - b)^2 + b^2 + 2 \cdot a \cdot b - 2 \cdot b^2 = </math><math> (a - b)^2 + 2 \cdot a \cdot b - b^2</math>hvilket omskrives til anden kvadratsætning.
|}
 
{| class="wikitable"
Her er et eksempel, hvor et udtryk sættes på fælles brøkstreg:
| [[Fil:ProductOfSumDifference.svg|center|600px|alt=Tredie kvadratsætning]]
|-
| Af figuren til højre aflæses umiddelbart, at arealet af det blå område er <math>a^2 - b^2</math>. Ved at flytte det grønt stiplede område kan figuren til højre fremkomme. Arealet af det blå område ses nu at være <math>(a + b) \cdot (a - b)</math>, hvilket illustrerer rigtigheden af tredie kvadratsætning.
|}
 
==Eksempler på anvendelse==
<math>\frac{2xy}{x^2+y^2} + 1 =
*<math>107^2 = (100 + 7)^2 = 100^2 + 7^2 + 2 \cdot 100 \cdot 7 = 10000 + 49 + 1400 = \mathbf {11449}</math>
\frac{2xy}{x^2+y^2} + \frac{x^2+y^2}{x^2+y^2} =
*<math>55 \cdot 45 = (50 + 5) \cdot (50 - 5) = 50^2 - 5^2 = 2500 - 25 = \mathbf {2475}</math>
\frac{2xy+x^2+y^2}{x^2+y^2} =
*<math>(4 \cdot p - 3 \cdot q)^2 + 24 \cdot p \cdot q = 16 \cdot p^2 + 9 \cdot q^2 - 24 \cdot p \cdot q + 24 \cdot p \cdot q = \mathbf {16 \cdot p^2 + 9 \cdot q^2}</math>
\frac{(x+y)^2}{x^2+y^2}</math>
*<math>\frac {x^2 - y^2}{x + y} + \frac {x^2 - y^2}{x - y} = \frac {(x + y) \cdot (x - y)}{x + y} + \frac {(x + y) \cdot (x - y)}{x - y} = (x - y) + (x + y) = \mathbf {2 \cdot x}</math>
*Omskrivning af en kvadratisk form for at bestemme den tilhørende kurveform:<br />
::<math>x^2 - 2 \cdot x + y^2 + 6 \cdot y - 26 = 0 \Leftrightarrow</math><br />
::<math>x^2 - 2 \cdot x + 1 - 1 + y^2 + 6 \cdot y + 9 - 9 - 26 = 0 \Leftrightarrow</math><br />
::<math>(x^2 - 2 \cdot x + 1) + (y^2 + 6 \cdot y + 9) = 1 + 9 + 26 = 36 \Leftrightarrow</math><br />
::<math>\mathbf {(x - 1)^2 + (y + 3)^2 = 6^2}</math><br />
::Ligningen fremstiller altså en [[Cirkel|cirkel]] med centrum i <math>(1, -3)</math> og radius <math>6</math>.
*Division med et [[Komplekse tal|komplekst tal]], her udnyttes, at <math>\mathrm i ^2 = -1</math>:<br />
::<math>\frac {1}{6 + 8 \cdot \mathrm i} = \frac {6 - 8 \cdot \mathrm i}{(6 + 8 \cdot \mathrm i) \cdot (6 - 8 \cdot \mathrm i)} = \frac {6 - 8 \cdot \mathrm i}{36 - (-64)} = \frac {6 - 8 \cdot \mathrm i}{100} = \mathbf {0.06 - 0.08 \cdot \mathrm i}</math><br />
*Kvadratsætningerne anvendes ved udledning af løsningsformlen for [[Andengradsligning|andengradsligninger]].
 
==Generaliseringer==
Her er et interessant eksempel, hvor en af varianterne af kvadratsætningen er brugt:
 
Ved fortsat multiplikation finder man
<math>\frac{(x+y)^2}{x^2-y^2} =
\frac{(x+y)^2}{(x+y)(x-y)} =
\frac{x+y}{x-y}</math>
 
:<math>(a + b)^3 = a^3 + 3 \cdot a^2 \cdot b + 3 \cdot a \cdot b^2 + b^3</math>
Som man kan se hjælper det meget i reduktion at kunne sine kvadratsætninger udenad, så man kan benytte dem når der er brug for det.
 
:<math>(a + b)^4 = a^4 + 4 \cdot a^3 \cdot b + 6 \cdot a^2 \cdot b^2 + 4 \cdot a \cdot b^3 + b^4</math>
== Cirklens centrum og radius ==
 
:<math>(a + b)^n = a^n + \tbinom{n}{1} \cdot a^{n-1} \cdot b + \tbinom{n}{2} \cdot a^{n-2} \cdot b^2 + ... + \tbinom{n}{k} \cdot a^{n-k} \cdot b^k + ... + \tbinom{n}{n-1} \cdot a \cdot b^{n-1} + b^n</math>
Givet en cirkelligning kan man bruge kvadratsætningen til at finde dens centrum og radius. Et eksempel:
 
Her er <math>\tbinom{n}{k}</math> en [[Binomialkoefficient|binomialkoefficient]] og koefficienterne danner et talskema, som kaldes [[Pascals trekant]].
<math>x^2 - 4x + y^2 - 2y - 4 = 0</math>
 
==Kilder==
Man ser først på x-leddene: Hvad skal der til for at de opfylder kvadratsætningens højre del? Svaret fås ved at se på leddet <math>4x</math>. Da det led må have opstået fra noget på formen <math>2ab</math> (fra kvadratsætningen), så må <math>a</math> være <math>x</math> og <math>b</math> være 2. Vi kan nu reducere x-leddene:
 
Kvadratsætningerne omtales ikke som sådan i Kristensen og Rindungs i 1960-erne udbredte lærebogssystem i matematik for gymnasiet; der henvises til anden kvadratsætning som "den velkendte formel"<ref name = KR>Erik Kristensen, Ole Rindung: ''Matematik I'', G.E.C.Gads Forlag, 1968, side 34</ref>.
<math>x^2 - 4x + 4 = (x - 2)^2</math> — Tilbage har vi cirkelligningen <math>(x - 2)^2 + y^2 - 2y - 8 = 0</math>.
 
De tre kvadratsætninger behandles i alle nyere lærebøger i matematik for gymnasiet.
Man gør nu præcis det samme for y-leddene. Se på leddet <math>2y</math>. For at det opfylder kvadratsætningen, så må <math>a</math> være <math>y</math> og <math>b</math> være 1. Dvs. vi kan skrive:
 
Begrebet synes ikke at blive anvendt i udlandet.
<math>y^2 - 2y + 1 = (y - 1)^2</math> — Tilbage har vi cirkelligningen <math>(x - 2)^2 + (y - 1)^2 - 9 = 0</math> der omskrives til <math>(x - 2)^2 + (y - 1)^2 = 3^2</math>.
 
Man kan ud fra den sidste ligning aflæse at cirklens centrum er (2, 1) og den radius er 3.
 
== Kvadratet på et komplekst tal ==
 
Når mange stifter bekendtskab med komplekse tal synes de at de er forvirrende og svære at arbejde med, men det behøver slet ikke være så svært. Når man ved at <math>\imath\cdot\imath = -1</math>, så kan man bruge kvadratsætningen til at finde kvadratet på et komplekst tal <math>a+b\imath</math>:
 
<math>(a+b\imath)^2 = a^2 + 2ab\imath + (b\imath)^2 = a^2 + 2ab\imath - b^2 = (a^2 - b^2) + (2ab)\imath</math> (resultatet er splittet op i en real- og imaginærdel)
 
== Generalisering ==
 
Kvadratsætningen kan generaliseres til andre potenser. Her er et par stykker:
 
* <math>(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2</math> (koefficienter 1, 2, 1)
* <math>(a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3</math> (koefficienter 1, 3, 3, 1)
* <math>(a + b)^4 = a^4 + 4a^3b + 6a^2b^2 + 4ab^3 + b^4</math> (koefficienter 1, 4, 6, 4, 1)
 
Det interessante er her at koefficienterne følger mønsteret fra [[Pascals trekant]], hvilket gør det nemt at generalisere sætningen til en vilkårlig potens på en computer.Toppen af trekanten følger potens i 0 og derved videre.
 
Hvis der mellem de to variabel er et minus skal leddene hvor b forekommer med en ulige potens have fortegnet minus.<ref>{{kilde bog
|efternavn= Petersen
|fornavn= B. Østergaard
|andet= ISBN 87-23-01012-6
|titel= Matematikleksikon
|oplag= 5.
|udgiver= Alinea A/S
}}</ref>
 
Man kan også generalisere sætningen på antallet af variable:
 
* <math>(a + b + c)^2 = a^2 + 2ab + 2ac + b^2 + 2bc + c^2</math>
* <math>(a + b + c + d)^2 = a^2 + 2ab + 2ac + 2ad + b^2 + 2bc + 2bd + c^2 + 2cd + d^2</math>
 
== Se også ==
* [[Kvadratkomplettering]]
* [[Ligning]]
* [[Andengradsligning]]
* [[Kubiksætningen]]
 
== Kilde ==
{{Reflist}}
 
[[Kategori:Matematiske sætninger]]
Hentet fra "https://da.wikipedia.org/wiki/Kvadratsætninger"