Versionen fra 13. dec. 2018, 16:11 redigér Bzorro (diskussion \| bidrag) 197 edits mNo edit summary Tags: Mobilredigering Mobilwebredigering ← Gå til forrige forskel		Versionen fra 8. jan. 2020, 23:32 redigér fjern redigering Inc (diskussion \| bidrag) Patruljanter 12.171 edits Laver det om til ubestemt integration jf. kilden + bevis Tags: Mobilredigering Mobilwebredigering Avanceret redigering fra mobil Gå til næste forskel →
Linje 1: '''Panserformlen''' er en [[matematisk formel]] der bruges når man skal finde en fuldstændig løsning ud fra en lineær [[differentialligning]] af første orden. Formlen giver løsningen til differentialligningen :<math> y' + h(x)y = g(x)</math> for to kontinuerte funktioner, <math>h</math> og <math>g</math>, under ~~begyndelsesbetingelsen~~betingelsen <math>y(~~t_0~~x_0)=k</math>. Formlen er givet ved: :<math> y(tx)= e^{ -H(tx)} \left( \displaystyle \~~int_{t_0}^t~~int e^{ H(x) } g(x) \, dx + kc \right ) </math>,▼ hvor <math> H(x)=\~~int_{t_0}^x~~int h(yx) dy dx</math> er en stamfunktion til <math> h(x) </math> .<ref>{{cite web\|url=https://bevissamling.systime.dk/index.php?id=334\|title=Systime Matematisk Bevissamling\|accessdate=12. september 2017}}</ref>▼ ▲<math> y(t)= e^{ -H(t)} \left( \displaystyle \int_{t_0}^t e^{ H(x) } g(x) \, dx + k \right ) </math>, == Bevis == ▲hvor <math> H(x)=\int_{t_0}^x h(y) dy </math> er en stamfunktion til <math> h(x) </math> .<ref>{{cite web\|url=https://bevissamling.systime.dk/index.php?id=334\|title=Systime Matematisk Bevissamling\|accessdate=12. september 2017}}</ref> Panserformlen kan bevises ved at antage, at en stamfunktion <math>H(x)</math> eksisterer til <math>h(x)</math>. På begge sider af differentialligningen ganges der nu med <math>e</math> opløftet i stamfunktionen: :<math>e^{H(x)}y' + e^{H(x)}h(x) y = e^{H(x)}g(x)</math> Da: :<math>\frac{d}{dx}\left(e^{H(x)}\right)=e^{H(x)}\frac{d}{dx}\left(H(x)\right)=e^{H(x)}h(x)</math> kan differentialligningen skrives som: :<math>e^{H(x)}y' + \frac{d}{dx}\left(e^{H(x)}\right) y = e^{H(x)}g(x)</math> Vha. [[Regneregler for differentiation\|produktreglen]] kan de to led med <math>y</math> kombineres: :<math>\frac{d}{dx}\left(e^{H(x)}y\right) = e^{H(x)}g(x)</math> Der integreres mht. <math>x</math> på begge sider, hvilket ophæver differentiationen: :<math>e^{H(x)}y-c = \int e^{H(x)}g(x)dx</math> hvor <math>c</math> er en [[integrationskonstant]]. Konstanten flyttes over på højresiden, og der dividere med <math>e^{H(x)}</math>: :<math>y=e^{-H(x)}\left(\int e^{H(x)}g(x)dx+c\right)</math> Dermed er <math>y</math> blevet isoleret.<ref>{{cite web\|url=https://bevissamling.systime.dk/index.php?id=334\|title=Systime Matematisk Bevissamling\|accessdate=12. september 2017}}</ref> Den endelige integrationskonstant kan bestemmes, hvis <math>y</math> er kendt til et bestemt punkt <math>x_0</math>, således at <math>y(x_0)=k</math>. Panserformlen er hermed bevist. [[Q.E.D.]] == Referencer ==

Panserformlen: Forskelle mellem versioner