Versionen fra 21. feb. 2020, 13:03 redigér Inc (diskussion \| bidrag) Patruljanter 12.171 edits Lidt kosmetiske samt fjernelse af unødvendige ord. Tag: 2017-kilderedigering ← Gå til forrige forskel		Versionen fra 21. feb. 2020, 13:06 redigér fjern redigering Inc (diskussion \| bidrag) Patruljanter 12.171 edits m →‎Eksempel: Lodret kast med bold: kosmetisk Tag: 2017-kilderedigering Gå til næste forskel →
Linje 25: === Eksempel: Lodret kast med bold === Et konkret eksempel på anvendelse af ovenstående differentialligninger kan ses ved at kaste en bold lodret op i luften og beregne, hvornår den rammer jorden. Ses der bort fra luftmodstanden, vil denne bold accelerere nedad med [[Tyngdeacceleration\|tyngdeaccelerationen]], ''<math>g''</math>, som i Danmark er omtrent 9,82 m/s². Det betyder, at følgende differentialligning kan opstilles for boldens højde ~~over jorden, ''~~<math>s(t)''</math> over jorden: :<math> {\operatorname{d}\!^2 s(t) \over \operatorname{d}\!t^2}=-9,82 </math> Hvor strækningen er målt i meter og tiden i sekunder. Det negative fortegn skyldes, at tyngdekraften presser nedad på bolden. Linje 33: Der antages yderligere, at bolden kastes opad med farten 5 m/s og at den slippes fra en højde på 1,5 m. Disse to informationen kaldes begyndelsesbetingelser til differentialligningen. De kan skrives matematisk, som hhv.: :<math> v_0={\operatorname{d}\!s\over\operatorname{d}\!t}(0) = 5</math> :<math> s_0=s(0) = 1,5</math> Løsningen til differentialligningen kan findes ved at [[Integration (matematik)\|integrere]] af to omgange. Først findes hastigheden: :<math> {\operatorname{d}\!^2 s(t) \over \operatorname{d}\!t^2}=-9,82 </math> ~~</math>~~ :<math> \int{{\operatorname{d}\!^2 s(t) \over \operatorname{d}\!t^2}\operatorname{d}\!t}=\int{-9,82 \operatorname{d}\!t}</math> ~~=\int{-9,82 \operatorname{d}\!t}</math>~~ :<math> {\operatorname{d}\! s(t) \over \operatorname{d}\!t}=-9,82 \cdot t+v_0</math> I denne differentialligning kan den første begyndelsesbetingelse indsættes, så der opnås: :<math> {\operatorname{d}\! s(t) \over \operatorname{d}\!t}=-9,82 \cdot t+5</math> Dette er en udtryk for boldens hastighed. Ønskes strækningen integreres det: :<math> \int{{\operatorname{d}\! s(t) \over \operatorname{d}\!t}\operatorname{d}\!t}=\int{(-9,82 \cdot t+5)\operatorname{d}\!t} </math> ~~=\int{(-9,82 \cdot t+5)\operatorname{d}\!t} </math>~~ :<math> s(t)={1\over 2}(-9,82) \cdot t^2+5\cdot t+s_0 </math> ~~(-9,82) \cdot t^2~~ ~~+5\cdot t+s_0 </math>~~ Heri kan den anden begyndelsesbetingelse anvendes: :<math> s(t)=-4,91 \cdot t^2+5\cdot t+1,5 </math> Dette er den løsningen til den oprindelige differentialligning. Spørgsmålet om hvornår den rammer jorden kan besvares ved at løse [[Andengradsligning\|andengradsligningen]]: :<math> 0=-4,91 \cdot t^2+5\cdot t+1,5 </math> Hvilket giver den positive løsning: :<math> t=1,23 </math> Bolden rammer derfor jorden efter 1,23 sekunder.

Differentialligning: Forskelle mellem versioner