Elastisk stød: Forskelle mellem versioner
Content deleted Content added
Inc (diskussion | bidrag) →Kriterier: Udvidet + billede fra enwiki Tags: Mobilredigering Mobilwebredigering Avanceret redigering fra mobil |
Inc (diskussion | bidrag) Udvidet med udledning baseret på enwiki. Tag: 2017-kilderedigering |
||
Linje 1:
[[Fil:Elastischer stoß 2D.gif|thumb|right|Et elastisk stød i to dimensioner]]
Et '''elastisk stød''' er et stød imellem to partikler, hvor den samlede [[kinetiske energi]], energien i bevægelsen, bevares og altså ikke omdannes til deformering af partiklerne, fx [[varme]], eller afgives til omgivelserne, fx [[lyd]]. Dette er udover [[Impuls (fysik)|impulsbevarelsen]], som gælder for alle typer stød. Det modsatte af et elastisk stød er et [[fuldstændigt inelastisk stød]].
== Kriterier ==
:<math>\vec{p}_{i1}+\vec{p}_{i2}= \vec{p}_{f1}+\vec{p}_{f2}</math>
hvor summen af de to impulser før er sat lig med summen efter. Tilsvarende gælder for den kinetiske energi <math>K</math>:
:<math>K_{i1}+K_{i2}=K_{f1}+K_{f2}</math>
Med disse to ligheder kan begge partiklers [[hastighed]]er efter det elastiske stød beregnes.
== Klassisk mekanik ==
I den klassiske mekanik er impuls givet ved [[Masse (fysik)|masse]] <math>m</math> gange hastighed <math>\vec{v}</math>
:<math>\vec{p}=m\vec{v}</math>
Mens kinetisk energi er givet ved impulsen i anden divideret med den dobbelte masse
:<math>K=\frac{\vec{p}^2}{2m}</math>
=== 1D ===
I én dimension - et frontalt sammenstød - bliver de to ligninger altså:
:<math>\begin{align} p_{i1}+p_{i2}&= p_{f1}+p_{f2}\\
\frac{p_{i1}^2}{m_1}+\frac{p_{i2}^2}{m_2}&=\frac{p_{f1}^2}{m_1}+\frac{p_{f2}^2}{m_2}\end{align}</math>
hvor den halve faktor for den kinetiske energi er ganget væk. Det sværeste er her, at impulserne er kvadreret i den ene ligning, men ikke i den anden. For at løse ligningssystemet omarrangeres begge ligninger, så impulserne for partikel 1 er på venstre side, mens impulserne for partikel 2 er på højre side:
:<math>\begin{align} p_{i1}-p_{f1}&= p_{f2}-p_{i2}\\
\frac{1}{m_1}(p_{i1}^2-p_{f1}^2)&=\frac{1}{m_2}(p_{f2}^2-p_{i2}^2)\end{align}</math>
Den anden ligningen divideres nu med den første ligning:
:<math>\frac{1}{m_1}\frac{p_{i1}^2-p_{f1}^2}{p_{i1}-p_{f1}}=\frac{1}{m_2}\frac{p_{f2}^2-p_{i2}^2}{p_{f2}-p_{i2}}</math>
Jf. [[Kvadratsætninger|kvadratsætningen]]
:<math>(a+b)(a-b)=a^2-b^2</math>
giver brøkerne:
:<math>\frac{1}{m_1}(p_{i1}+p_{f1})=\frac{1}{m_2}(p_{f2}+p_{i2})</math>
Impulserne er nu ikke længere kvadrerede, og ligningssystemet er dermed blevet lettere at løse. Ligning 1 kan divideres med <math>m_2</math> og ganges med -1, hvilket giver
:<math>\frac{1}{m_2}(-p_{i1}+p_{f1})=\frac{1}{m_2}(-p_{f2}+p_{i2})</math>
De to ligninger lægges nu sammen, så <math>p_{f2}</math> elimineres, og <math>p_{f1}</math> kan isoleres:
:<math>\begin{align} \frac{1}{m_1}p_{i1}+\frac{1}{m_1}p_{f1}-\frac{1}{m_2}p_{i1}+\frac{1}{m_2}p_{f1}&=\frac{1}{m_2}p_{f2}+\frac{1}{m_2}p_{i2}-\frac{1}{m_2}p_{f2}+\frac{1}{m_2}p_{i2}\\
\left(\frac{1}{m_1}-\frac{1}{m_2}\right)p_{i1}+\left(\frac{1}{m_1}+\frac{1}{m_2}\right)p_{f1}&=\frac{2}{m_2} p_{i2}\\
p_{f1}&=\frac{-\left(\frac{1}{m_1}-\frac{1}{m_2}\right)p_{i1}+\frac{2}{m_2} p_{i2}}{\frac{1}{m_1}+\frac{1}{m_2}}\\
p_{f1}&=\frac{m_1-m_2}{m_1+m_2}p_{i1}+\frac{2m_1}{m_1+m_2} p_{i2}\end{align}</math>
Dermed er et udtryk for den endelige impuls for partikel 1 fundet. Hvis hastigheden ønskes, skal der blot divideres med <math>m_1</math> på begge sider:
:<math>v_{f1}=\frac{m_1-m_2}{m_1+m_2}v_{i1}+\frac{2m_2}{m_1+m_2} v_{i2}</math>
For partikel 2 gælder helt tilsvarende:
:<math>v_{f2}=\frac{2m_1}{m_1+m_2} v_{i1}+\frac{m_2-m_1}{m_1+m_2}v_{i2}</math>
Det ses, at forholdet mellem partiklernes masser er afgørende for de endelige hastigheder. For det trivielle tilfælde hvor partikel 2 har massen nul, bliver hastigheden på partikel 2 blot:
:<math>v_{f1}=\frac{m_1}{m_1}v_{i1}+\frac{0}{m_1} v_{i2}=v_{i1}</math>
Hastigheden er altså uændret, hvilket giver mening, da det svarer til, at partikel 1 ikke er stødt ind i nogen partikel.
[[Fil:Elastischer stoß2.gif|thumb|right|Et stød mellem to legemer med lige store masser. ]]
For et andet specialtilfælde hvor masserne er ens, reducerer udtrykket til:
:<math>v_{f1}=\frac{0}{2m}v_{i1}+\frac{2m}{2m} v_{i2}=v_{i2}</math>
For ens masser udveksler partiklerne altså hastighed.
[[Kategori:Inerti]]
|