Kvadratsætninger: Forskelle mellem versioner

Content deleted Content added
m Typo fixing, replaced: f. eks. → f.eks., Tredie → Tredje (3) ved brug af AWB
m bot:ændrer tag u til tag span - WPCW fejl 33; kosmetiske ændringer
Linje 4:
<ref>Jens Carstensen, Jesper Frandsen: ''Matematik 1 for obligatorisk niveau'', Systime, 1988, side 27.</ref>
<ref>Jens Carstensen, Jesper Frandsen: ''Matematik 1'', Systime, 1997, side 14.</ref>
<ref>Knud Erik Nielsen, Esper Fogh: ''Vejen til matematik AB1'', Forlaget Hax, 2005, side 24 - 25.</ref>.
 
== Kvadratsætningerne ==
De er de følgende tre:
 
Linje 17:
Sætningerne kan huskes ved hjælp af følgende remser:
 
:”<span style="color:#279363">Kvadratet på en <uspan style="text-decoration:underline">sum</uspan> af to led</span> er lig <span style="color:#DA3040">kvadratet på første led</span> <uspan style="text-decoration:underline">plus</uspan> <span style="color:#2C80BC">kvadratet på andet led</span> <uspan style="text-decoration:underline">plus</uspan> <span style="color:#F5A73F">det dobbelte produkt</span>”.
 
:”<span style="color:#279363">Kvadratet på en <uspan style="text-decoration:underline">differens</uspan> af to led</span> er lig <span style="color:#DA3040">kvadratet på første led</span> <uspan style="text-decoration:underline">plus</uspan> <span style="color:#2C80BC">kvadratet på andet led</span> <uspan style="text-decoration:underline">minus</uspan> <span style="color:#F5A73F">det dobbelte produkt</span>”.
 
:”<span style="color:#279363">To leds sum</span> ganget med <span style="color:#DA3040">de samme to leds differens</span> er lig med <span style="color:#2C80BC">kvadratet på første led</span> minus <span style="color:#F5A73F">kvadratet på andet led</span>”.
 
== Produkt af to flerledede strørrelser ==
 
Sætningerne følger elementært af den generelle regel for udregning af produktet af to flerledede størrelser:
Linje 37:
:<math>(a + b) \cdot (a - b) = a \cdot a - a \cdot b + b \cdot a - b \cdot b = a^2 - b^2</math>
 
== Geometriske illustrationer ==
I det tilfælde, at <math>a > b > 0</math>, altså hvor <math>a</math> og <math>b</math> er positive og <math>a</math> er størst, kan man indse rigtigheden af de tre kvadratsætninger ved hjælp af simple illustrationer:
 
Linje 54:
|}
 
== Eksempler på anvendelse ==
* <math>107^2 = (100 + 7)^2 = 100^2 + 7^2 + 2 \cdot 100 \cdot 7 = 10000 + 49 + 1400 = \mathbf {11449}</math>
* <math>55 \cdot 45 = (50 + 5) \cdot (50 - 5) = 50^2 - 5^2 = 2500 - 25 = \mathbf {2475}</math>
* <math>(4 \cdot p - 3 \cdot q)^2 + 24 \cdot p \cdot q = 16 \cdot p^2 + 9 \cdot q^2 - 24 \cdot p \cdot q + 24 \cdot p \cdot q = \mathbf {16 \cdot p^2 + 9 \cdot q^2}</math>
* <math>\frac {x^2 - y^2}{x + y} + \frac {x^2 - y^2}{x - y} = \frac {(x + y) \cdot (x - y)}{x + y} + \frac {(x + y) \cdot (x - y)}{x - y} = (x - y) + (x + y) = \mathbf {2 \cdot x}</math>
* Omskrivning af en kvadratisk form for at bestemme den tilhørende kurveform:<br />
::<math>x^2 - 2 \cdot x + y^2 + 6 \cdot y - 26 = 0 \Leftrightarrow</math><br />
::<math>x^2 - 2 \cdot x + 1 - 1 + y^2 + 6 \cdot y + 9 - 9 - 26 = 0 \Leftrightarrow</math><br />
::<math>(x^2 - 2 \cdot x + 1) + (y^2 + 6 \cdot y + 9) = 1 + 9 + 26 = 36 \Leftrightarrow</math><br />
::<math>\mathbf {(x - 1)^2 + (y + 3)^2 = 6^2}</math><br />
::Ligningen fremstiller altså en [[Cirkel|cirkel]] med centrum i <math>(1, -3)</math> og radius <math>6</math>.
* Division med et [[Komplekse tal|komplekst tal]], her udnyttes, at <math>\mathrm i ^2 = -1</math>:<br />
::<math>\frac {1}{6 + 8 \cdot \mathrm i} = \frac {6 - 8 \cdot \mathrm i}{(6 + 8 \cdot \mathrm i) \cdot (6 - 8 \cdot \mathrm i)} = \frac {6 - 8 \cdot \mathrm i}{36 - (-64)} = \frac {6 - 8 \cdot \mathrm i}{100} = \mathbf {0.06 - 0.08 \cdot \mathrm i}</math><br />
* Kvadratsætningerne anvendes ved udledning af løsningsformlen for [[Andengradsligning|andengradsligningerandengradsligning]]er.
 
== Generaliseringer ==
 
Ved fortsat multiplikation finder man
Linje 79:
:<math>(a + b)^n = a^n + \tbinom{n}{1} \cdot a^{n-1} \cdot b + \tbinom{n}{2} \cdot a^{n-2} \cdot b^2 + ... + \tbinom{n}{k} \cdot a^{n-k} \cdot b^k + ... + \tbinom{n}{n-1} \cdot a \cdot b^{n-1} + b^n</math>
 
Her er <math>\tbinom{n}{k}</math> en [[Binomialkoefficient|binomialkoefficient]] og koefficienterne danner et talskema, som kaldes [[Pascals trekant]].
 
== Kilder ==
 
Kvadratsætningerne omtales ikke som sådan i Kristensen og Rindungs i 1960-erne udbredte lærebogssystem i matematik for gymnasiet; der henvises til anden kvadratsætning som "den velkendte formel"<ref name = KR>Erik Kristensen, Ole Rindung: ''Matematik I'', G.E.C.Gads Forlag, 1968, side 34</ref>.