Maxwell-Boltzmann-fordelingen: Forskelle mellem versioner
Content deleted Content added
m Flertydige WL: Partikel → partikel (fysik) |
Inc (diskussion | bidrag) Udledning Tag: 2017-kilderedigering |
||
Linje 3:
:<math>f(v)=\frac{4}{\sqrt{\pi}}\left(\frac{m}{2k_BT}\right)^{\frac{3}{2}} v^2 e^{-\frac{mv^2}{2k_BT}}</math>
hvor <math>T</math> er gassens [[temperatur]], <math>k_B</math> er [[Boltzmanns konstant]], og <math>m</math> er en enkelt partikels [[Masse (fysik)|masse]]. Hvis en tilfældig partikel i gassen udvælges, er sandsynligheden for, at den har en fart i intervallet <math>v</math> til <math>v+dv</math> altså givet ved <math>f(v)dv</math>.<ref name="blundell 46-48">{{cite book |last1= Blundell |first1= Stephen J. |authorlink1= |last2=Blundell |first2= Katherine M. |authorlink2= |coauthors= |editor1-first= |editor1-last= |editor1-link= |others= |title= Concepts in Thermal Physics |edition= 1. |year= 2006 |publisher= Oxford University Press |location= |language= engelsk |isbn= 978-0-19-856770-7 |page= 46-48 |chapter= 5 The Maxwell–Boltzmann distribution}}</ref>
== Udledning ==
Siden partiklerne i en idealgas ikke interagerer med hinanden udover ved [[Elastisk stød|elastiske sammenstød]], er deres [[energi]] <math>E</math> blot lig med deres [[kinetiske energi]]
:<math>E=\frac{1}{2}m\vec{v}^2</math>
hvor <math>\vec{v}</math> er hastigheden.<ref name="blundell 46-48"/>
=== Hastighedsfordeling ===
Jf. Boltzmann-fordelingen må fordelingen af kinetisk energi følge en [[eksponentialfunktion]]:
:<math>f_{\vec{v}}(\vec{v})\propto e^{-\frac{E}{k_BT}}=e^{-\frac{m\vec{v}^2}{2k_BT}}</math>
Da
:<math>\vec{v}^2=v_x^2+v_y^2+v_z^2</math>
for hver retning <math>x</math>, <math>y</math> og <math>z</math>, er fordelingsfunktionen altså en funktion af tre variable:
:<math>f_{\vec{v}}(v_x,v_y,v_y)\propto e^{-\frac{mv_x^2}{2k_BT}}e^{-\frac{mv_y^2}{2k_BT}}e^{-\frac{mv_z^2}{2k_BT}}</math>
Det ses, at fordelingen er fordelt [[sfærisk symmetrisk]] omkring 0, hvilket vil sige, at partiklerne ikke bevæger sig i en foretrukken retning. For at normere fordelingen skal integralet givet 1:
:<math>\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}f_{\vec{v}}(v_x,v_y,v_y) dv_x dv_y dv_z = 1</math>
Da det [[gaussiske integrale]] er<ref name="blundell 437">{{cite book |last1= Blundell |first1= Stephen J. |authorlink1= |last2=Blundell |first2= Katherine M. |authorlink2= |coauthors= |editor1-first= |editor1-last= |editor1-link= |others= |title= Concepts in Thermal Physics |edition= 1. |year= 2006 |publisher= Oxford University Press |location= |language= engelsk |isbn= 978-0-19-856770-7 |page= 437 |chapter= C.2 The Gaussian integral}}</ref>
:<math>\int_{-\infty}^{\infty}e^{-\alpha x^2}dx=\sqrt{\frac{\pi}{\alpha}}</math>
må det for fordelingsfunktionen gælde:
:<math>\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty} e^{-\frac{mv_x^2}{2k_BT}}e^{-\frac{mv_y^2}{2k_BT}}e^{-\frac{mv_z^2}{2k_BT}} dv_x dv_y dv_z = \int_{-\infty}^{\infty} e^{-\frac{mv_x^2}{2k_BT}} dv_x \int_{-\infty}^{\infty} e^{-\frac{mv_y^2}{2k_BT}} dv_y \int_{-\infty}^{\infty} e^{-\frac{mv_z^2}{2k_BT}} dv_z=\sqrt{\frac{2\pi k_BT}{m}} \sqrt{\frac{2\pi k_BT}{m}} \sqrt{\frac{2\pi k_BT}{m}}</math>
Dermed er fordelingsfunktionen for hastigheder
{{Equation box 1
|equation=<math>f_{\vec{v}}(v_x,v_y,v_y)= \left(\frac{m}{2\pi k_BT}\right)^{\frac{3}{2}} e^{-\frac{mv_x^2+v_y^2+v_z^2}{2k_BT}}</math>
|indent=:
|cellpadding
|border
|border colour =
|background colour= }}
Det ses desuden, at fordelingen flader ud, jo højere temperaturen bliver.<ref name="blundell 46-48"/>
=== Fartfordelingen ===
For at finde fartfordelingen skal hastihedernes retninger integreres væk. Pga. symmetrien kan [[sfæriske koordinater]] med fordel bruges:
:<math>\int_{\Omega}\int_{0}^{\infty}f_{\vec{v}}(v,\Omega) v^2 dv d\Omega= 1</math>
er [[Rumvinkel|rumvinklen]]. Integralet over rumvinklen er <math>4\pi</math>, så fartfordelingen bliver
{{Equation box 1
|equation=<math>f(v)=\frac{4}{\sqrt{\pi}} \left(\frac{m}{2k_BT}\right)^{\frac{3}{2}} v^2 e^{-\frac{mv^2}{2k_BT}}</math>
|indent=:
|cellpadding
|border
|border colour =
|background colour= }}
I modsætning til hastighedsfordelingen er fartfordelingen altså ikke symmetrisk omkring 0.<ref name="blundell 46-48"/>
== Kildehenvisninger ==
| |||