Carnot-kredsproces: Forskelle mellem versioner

Under Carnots cyklus bliver en [[idealgas]] udsat for [[kompression]] og [[ekspansion]], og processen kan deles op i fire [[Termodynamisk proces|delprocesser]]. [[Motor]]en er i kontakt med et varm reservoir med [[temperatur]]en <math>T_hT_{\text{H}}</math> (H for Hot) og et koldt med temperaturen <math>T_cT_{\text{C}}</math> (C for Cold). I starten (1) har [[gas]]sen den høje temperatur <math>T_hT_{\text{H}}</math> og udvides derfra [[isoterm]]t, så temperaturen holdes konstant. Derved modtager gassen varmen <math>Q_hQ_{\text{H}}</math> fra det varme reservoir. Den overførte varme under en isoterm ekspansion af en idealgas er givet ved:

:<math>Q_hQ_{\text{H}}=nRT_hnRT_{\text{H}}\ln\left(\frac{V_2}{V_1}\right)</math>

hvor <math>n</math> er [[stofmængde]]n, <math>R</math> er [[gaskonstant]]en, og <math>V</math> er volumen. Gassen ekspanderer nu yderligere (2-3) [[adiabatisk]], indtil temperaturen af gassen er faldet <math>T_cT_{\text{C}}</math>. For en adiabatisk ekspansion gælder det, at:

:<math>T_hV_2T_{\text{H}}V_2^{\gamma-1}=T_cV_3T_{\text{C}}V_3^{\gamma-1}</math>

:<math>\frac{T_hT_{\text{H}}}{T_cT_{\text{C}}}=\left(\frac{V_3}{V_2}\right)^{\gamma-1}</math>

I den tredje proces komprimeres gassen nu (3-4) igen isoterm, hvilket får gassen til at afgive varmen <math>Q_cQ_{\text{C}}</math> til reservoiret. Som før er denne varme givet ved:

:<math>Q_cQ_{\text{C}}=-nRT_cnRT_{\text{C}}\ln\left(\frac{V_4}{V_3}\right)=nRT_cnRT_{\text{C}}\ln\left(\frac{V_3}{V_4}\right)</math>

hvor det negative fortegn angiver, at varmen forlader gassen. Til sidste komprimeres gassen adiabatisk for at komme tilbage til tilstand 1 med temperaturen <math>T_hT_{\text{H}}</math>. Det gælder altså, at

:<math>\frac{T_cT_{\text{C}}}{T_hT_{\text{H}}}=\left(\frac{V_1}{V_4}\right)^{\gamma-1}</math>

Forholdet mellem <math>Q_hQ_{\text{H}}</math> og <math>Q_cQ_{\text{C}}</math> kan nu udledes. Fra de isoterme processer ses det, at:

:<math>\frac{Q_hQ_{\text{H}}}{Q_cQ_{\text{C}}}=\frac{nRT_hnRT_{\text{H}}\ln\left(\frac{V_2}{V_1}\right)}{nRT_cnRT_{\text{C}}\ln\left(\frac{V_3}{V_4}\right)}=\frac{T_hT_{\text{H}}}{T_cT_{\text{C}}}\frac{\ln\left(\frac{V_2}{V_1}\right)}{\ln\left(\frac{V_3}{V_4}\right)}</math>

:<math>\frac{T_hT_{\text{H}}}{T_cT_{\text{C}}}=\left(\frac{V_3}{V_2}\right)^{\gamma-1}=\left(\frac{V_4}{V_1}\right)^{\gamma-1}</math>

|equation={{NumBlk|:|<math>\frac{Q_hQ_{\text{H}}}{Q_cQ_{\text{C}}}=\frac{T_hT_{\text{H}}}{T_cT_{\text{C}}}</math>|{{EquationRef|1}}}}

Nyttevirkningen <math>\eta</math> kan nu beregnes. Den er defineret som forholdet mellem den tilførte varme <math>Q_hQ_{\text{H}}</math>, og det effektive arbejde ydet på omgivelserne <math>W_{\text{out}}</math>:

:<math>\eta=\frac{W_{\text{out}}}{Q_hQ_{\text{H}}}</math>

:<math>\Delta Q = Q_hQ_{\text{H}} - Q_cQ_{\text{C}}</math>

:<math>W_{\text{out}} = Q_hQ_{\text{H}} - Q_cQ_{\text{C}}</math>

:<math>\eta=\frac{Q_hQ_{\text{H}} - Q_cQ_{\text{C}}}{Q_{\text{Q_hH}}}=1-\frac{Q_cQ_{\text{C}}}{Q_hQ_{\text{H}}}</math>

|equation=<math>\eta_{\text{Carnot}}=1-\frac{T_cT_{\text{C}}}{T_hT_{\text{H}}}</math>

:<math>\eta_{\text{varmepumpe}}=\frac{W_{\text{out}}}{Q_hQ_{\text{H}}}=\frac{1}{\eta_{\text{Carnot}}}=\frac{1}{1-\frac{T_cT_{\text{C}}}{T_hT_{\text{H}}}}</math>

For den samme temperaturforskel, skal E altså bruge mindre tilført varme <math>Q_hQ_{\text{H}}'</math> for at udføre det samme arbejde:

:<math>Q_hQ_{\text{H}}'<Q_hQ_{\text{H}}</math>-->