Maxwell-Boltzmann-fordelingen: Forskelle mellem versioner
Content deleted Content added
m Boltzmanns konstant er ændret til k_B med B i ikke kursiv, da det ikke er en fysisk størrelse |
m Eulers tal erstattet med ikke kursivt "e" da det er en funktion |
||
Linje 2:
[[Fil:Maxwell-Boltzmann distribution pdf.svg|thumb|right|Maxwell-Boltzmann-fordelingen for forskellige temperaturer, hvor <math>x=v</math> og <math>a=\sqrt{\frac{k_{\text{B}}T}{m}}</math>. Det ses, at fordelingen forskydes mod højere hastigheder, når temperaturen stiger.]]
'''Maxwell-Boltzmann-fordelingen''' beskriver [[hastighed]]s- og [[fart]]fordelingen af [[partikel (fysik)|partiklerne]] i en [[idealgas]] i [[termisk ligevægt]] jf. den [[kinetiske gasteori]]. Fordelingen af fart <math>v</math> er givet ved:
:<math>f(v)=\frac{4}{\sqrt{\pi}}\left(\frac{m}{2k_{\text{B}}T}\right)^{\frac{3}{2}}
hvor <math>T</math> er gassens [[temperatur]], <math>k_{\text{B}}</math> er [[Boltzmanns konstant]], og <math>m</math> er en enkelt partikels [[Masse (fysik)|masse]]. Hvis en tilfældig partikel i gassen udvælges, er sandsynligheden for, at den har en fart i intervallet <math>v</math> til <math>v+dv</math> altså givet ved <math>f(v)dv</math>.<ref name="blundell 46-48">{{cite book |last1= Blundell |first1= Stephen J. |authorlink1= |last2=Blundell |first2= Katherine M. |authorlink2= |coauthors= |editor1-first= |editor1-last= |editor1-link= |others= |title= Concepts in Thermal Physics |edition= 1. |year= 2006 |publisher= Oxford University Press |location= |language= engelsk |isbn= 978-0-19-856770-7 |page= 46-48 |chapter= 5 The Maxwell–Boltzmann distribution}}</ref>
Linje 12:
=== Hastighedsfordeling ===
Jf. Boltzmann-fordelingen må fordelingen af kinetisk energi følge en [[eksponentialfunktion]]:
:<math>f_{\vec{v}}(\vec{v})\propto \text{e}^{-\frac{E}{k_{\text{B}}T}}=\text{e}^{-\frac{m\vec{v}^2}{2k_{\text{B}}T}}</math>
Da
:<math>\vec{v}^2=v_x^2+v_y^2+v_z^2</math>
for hver retning <math>x</math>, <math>y</math> og <math>z</math>, er fordelingsfunktionen altså en funktion af tre variable:
:<math>f_{\vec{v}}(v_x,v_y,v_y)\propto \text{e}^{-\frac{mv_x^2}{2k_{\text{B}}T}}\text{e}^{-\frac{mv_y^2}{2k_{\text{B}}T}}\text{e}^{-\frac{mv_z^2}{2k_{\text{B}}T}}</math>
[[Fil:The Gaussian integral.svg|thumb|right|En én-dimensionel normalfordeling omkring 0.]]
Linje 22:
:<math>\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}f_{\vec{v}}(v_x,v_y,v_y) dv_x dv_y dv_z = 1</math>
Da det [[gaussiske integrale]] er<ref name="blundell 437">{{cite book |last1= Blundell |first1= Stephen J. |authorlink1= |last2=Blundell |first2= Katherine M. |authorlink2= |coauthors= |editor1-first= |editor1-last= |editor1-link= |others= |title= Concepts in Thermal Physics |edition= 1. |year= 2006 |publisher= Oxford University Press |location= |language= engelsk |isbn= 978-0-19-856770-7 |page= 437 |chapter= C.2 The Gaussian integral}}</ref>
:<math>\int_{-\infty}^{\infty}\text{e}^{-\alpha x^2}dx=\sqrt{\frac{\pi}{\alpha}}</math>
må det for fordelingsfunktionen gælde:
<div style="overflow:auto;">
:<math>\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty} e^{-\frac{mv_x^2}{2k_{\text{B}}T}}\text{e}^{-\frac{mv_y^2}{2k_{\text{B}}T}}\text{e}^{-\frac{mv_z^2}{2k_{\text{B}}T}} dv_x dv_y dv_z = \int_{-\infty}^{\infty} \text{e}^{-\frac{mv_x^2}{2k_{\text{B}}T}} dv_x \int_{-\infty}^{\infty} \text{e}^{-\frac{mv_y^2}{2k_{\text{B}}T}} dv_y \int_{-\infty}^{\infty} \text{e}^{-\frac{mv_z^2}{2k_{\text{B}}T}} dv_z=\sqrt{\frac{2\pi k_{\text{B}}T}{m}} \sqrt{\frac{2\pi k_{\text{B}}T}{m}} \sqrt{\frac{2\pi k_{\text{B}}T}{m}}</math>
</div>
Dermed er fordelingsfunktionen for hastigheder
{{Equation box 1
|equation=<math>f_{\vec{v}}(v_x,v_y,v_y)= \left(\frac{m}{2\pi k_{\text{B}}T}\right)^{\frac{3}{2}} \text{e}^{-\frac{m(v_x^2+v_y^2+v_z^2)}{2k_{\text{B}}T}}</math>
|indent=:
|cellpadding
Linje 43:
Her er <math>\Omega</math> [[Rumvinkel|rumvinklen]]. Integralet over rumvinklen er <math>4\pi</math>, så fartfordelingen bliver
{{Equation box 1
|equation=<math>f(v)=\frac{4}{\sqrt{\pi}} \left(\frac{m}{2k_{\text{B}}T}\right)^{\frac{3}{2}} v^2 \text{e}^{-\frac{mv^2}{2k_{\text{B}}T}}</math>
|indent=:
|cellpadding
| |||