Fysisk pendul: Forskelle mellem versioner
Content deleted Content added
Inc (diskussion | bidrag) m Internt link Tag: 2017-kilderedigering |
Inc (diskussion | bidrag) + udledning Tag: 2017-kilderedigering |
||
Linje 1:
[[Fil:Simple pendulum height.png|thumb|250px]]
Det '''fysiske pendul''' er en [[Fysik|fysisk]] [[Model (matematik)|beregningsmodel]], som i modsætning til det [[Matematisk pendul|matematiske pendul]] kan bruges på alle Et fysisk pendul er et legeme med [[Masse (fysik)|massen]] <
:<math>T = 2
hvor <
Resultatet er en tilnærmelse, fordi formlen bygger på, at [[Lille vinkel|vinklen er lille]]:<ref name=hyperphysics>{{cite web |url=http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/pendp.html |title=Physical Pendulum |first1= Carl Rod |last1= Nave |authorlink= |date= |website= |publisher= [[Georgia State University]] |location= |page= |language= engelsk |format= |doi= |archiveurl= |archivedate= |accessdate= 31. marts 2020 |quote= |ref= }}</ref>
Til visse penduler kan man bruge en simplere beregningsmodel, det såkaldte [[Matematisk pendul|matematiske pendul]], som hverken involverer massen <em>m</em> eller inertimomentet <em>I</em>.▼
:<math>\sin\theta\approx\theta</math>
▲Til visse penduler kan man bruge en simplere beregningsmodel, det såkaldte [[Matematisk pendul|matematiske pendul]], som involverer hverken
== Udledning ==
Hvert infinitesimale punkt på pendulet bliver påvirket af samme [[tyngdekraft]] <math>\mathrm{d}\vec{F}</math> givet ved:
:<math>\mathrm{d}\vec{F}=-g\mathrm{d}m\hat{z}</math>
hvor <math>\mathrm{d}m</math> er den infinitesimale masse, mens <math>-\hat{z}</math> angiver, at tyngekraften peger nedad. Kraftmomentet er da <math>\mathrm{d}\vec{\tau}</math>
:<math>\mathrm{d}\vec{\tau}=\vec{r}\times\mathrm{d}\vec{F}=-g\vec{r}\mathrm{d}m\times\hat{z}</math>
hvor <math>\vec{r}</math> er afstandsvektoren til [[origo]]. Ved [[Integralregning|integration]] findes det samlede kraftmoment på hele legemet:
:<math>\vec{\tau}=\int\mathrm{d}\vec{\tau}=-g\int\vec{r}\mathrm{d}m\times\hat{z}</math>
[[Massemidtpunkt]]et <math>\vec{d}</math> er givet ved:
:<math>\vec{d}=\frac{1}{m}\int\vec{r}\mathrm{d}m</math>
Dette indsættes i stedet for integralet:
:<math>\vec{\tau}=-gm\vec{d}\times\hat{z}</math>
Krydsproduktets størrelse er blot størrelsen på <math>\vec{d}</math> - dvs. massemidtpunktets afstand til origo - gange [[Sinus (matematik)|sinus]] til [[Vinkel|vinklen]] i forhold til lodret. Størrelsen på kraftmomentet er derfor:
:<math>\tau=-gmd\sin\theta</math>
Kraftmomentet er relateret til vinkelaccelerationen <math>\ddot\theta</math> ved
:<math>\tau=I\ddot\theta</math>
hvor <math>I</math> er inertimomentet, der afhænger af legemets præcise form. Vinkelaccelerationen er altså:
:<math>\ddot\theta=-\frac{gmd}{I}\sin\theta</math>
For den lille vinkel reducer sinusfunktionen til bare at være vinklen:
:<math>\ddot\theta=-\frac{gmd}{I}\theta</math>
Løsningen til denne [[differentialligning]] kan udover en evt. [[Fase (svingning)|fase]] generelt skrives som:
:<math>\theta(t)=A\sin(\omega t)+B\cos(\omega t)</math>
hvor <math>t</math> er [[tid]]en, <math>A</math> og <math>B</math> er konstanter, og <math>\omega</math> er [[vinkelfrekvens]]en givet ved:
:<math>\omega=\sqrt{\frac{gmd}{I}}</math>
Dermed opnås en periode på:<ref name=hyperphysics/>
:<math>T = 2\pi\sqrt{\frac{I}{gmd}}</math>
Hvis al masse er i massemidtpunktet forsimples dette udtryk og bliver identisk med det [[matematiske pendul]].
== Kildehenvisninger ==
{{reflist}}
{{autoritetsdata}}
| |||