Forskel mellem versioner af "Matematisk pendul"

2.504 bytes tilføjet ,  for 11 måneder siden
+ Udledning - i samme stil som ved Fysisk pendul
(+ illustration flyttet fra det fysiske pendul)
Tags: Mobilredigering Mobilwebredigering Avanceret redigering fra mobil
(+ Udledning - i samme stil som ved Fysisk pendul)
Tag: 2017-kilderedigering
[[Fil:SimpleOscillating pendulum height.pnggif|thumb|right|Et matematisk pendul består af en punktmasse, der svinger. Her vises desuden [[hastighed]]en og [[acceleration]]en som vektorer.]]
Det '''matematiske pendul''' er en simplificeret [[Fysik|fysisk]] [[Model (matematik)|beregningsmodel]] for et [[pendul]]: Det består af en masseløs snor med længde <math>L</math>, som i den ene ende er fastgjort til et ubevægeligt punkt og i den anden ende er forsynet med et (uendeligt) lille lod. Så længe pendulet foretager [[Lille vinkel|små udsving]], kan svingningstiden <math>T</math> beregnes som:
:<math>T = 2\pi\sqrt{\frac{L}{g}}</math>
hvor <math>g</math> er den lokale [[tyngdeacceleration]]; ca. 9,8 m/s² de fleste steder på Jordens overflade, og omkring 9,82 m/s² i Danmark.
 
Formlen gælder ''approksimativt'', ikke eksakt, fordi den bygger på approximationenapproksimationen <math>\sin \theta \approx\theta</math>. Dog ses det af formlen, at hverken loddets masse eller udsvingenes præcise størrelse har nogen indflydelse på svingningstiden.<ref name=hyperphysics>{{cite web |url=http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/pend.html |title=Simple Pendulum |first1= Carl Rod |last1= Nave |authorlink= |date= |website= |publisher= [[Georgia State University]] |location= |page= |language= engelsk |format= |doi= |archiveurl= |archivedate= |accessdate= 31. marts 2020 |quote= |ref= }}</ref>
 
Beregningsmodellen for det matematiske pendul er ikke lige velegnet til alle det virkelige livs penduler. En anden beregningsmodel, det [[Fysisk pendul|fysiske pendul]], er lidt mere kompliceret, men kan anvendes på flere praktiske penduler.
 
== Udledning ==
Loddet bliver påvirket af [[tyngdekraft]]en <math>\vec{F}</math>:
:<math>\vec{F}-mg\hat{z}</math>
hvor <math>m</math> er loddets [[Masse (fysik)|masse]], og <math>-\hat{z}</math> angiver, at tyngdekraften peger nedad. Kraften kan splittes op i to bidrag, hvoraf det ene trækker loddet parallelt med snoren - og derfor ikke får loddet til at svinge - mens det andet bidrag <math>F_{\perp}</math> virker vinkelret på snoren. Det må være givet ved tyngdekraften gange [[Sinus (matematik)|sinus]] til pendulets [[vinkel]]:
:<math>F_{\perp}=-mg\sin\theta</math>
Jf. [[Newtons anden lov]] er [[kraft]] lig masse gange acceleration <math>\ddot x</math>. Da den rejste afstand i en [[cirkel]] blot er radius gange vinkel:
:<math>\mathrm{d}x=L\mathrm{d}\theta</math>
Må den vinkelrette kraft være:
:<math>F_{\perp}=m\ddot x=mL\ddot \theta</math>
Dette indsættes:
:<math>mL\ddot \theta=-mg\sin\theta</math>
Dermed bliver bevægelsesligningen:
{{Equation box 1
|title=
|indent=:
|equation=<math>\ddot\theta=-\frac{g}{L}\sin\theta</math>
|cellpadding = 6
|border = 1
|border colour = black
|background colour=white}}
Det ses, at vinkelaccelerationen virker modsat udsvinget, hvilket betyder, at pendulet kommer til at svinge frem og tilbage.
 
Denne differentialligning er dog svær at løse, men for den lille vinkel reducer sinusfunktionen til bare at være vinklen:
:<math>\ddot\theta=-\frac{g}{L}\theta</math>
Løsningen til denne [[differentialligning]] kan udover en evt. [[Fase (svingning)|fase]] generelt skrives som:
:<math>\theta(t)=A\sin(\omega t)+B\cos(\omega t)</math>
hvor <math>t</math> er [[tid]]en, <math>A</math> og <math>B</math> er konstanter, og <math>\omega</math> er [[vinkelfrekvens]]en givet ved:
:<math>\omega=\sqrt{\frac{g}{L}}</math>
Dermed opnås en periode på:<ref name=hyperphysics/>
{{Equation box 1
|title=
|indent=:
|equation=<math>T = 2\pi\sqrt{\frac{L}{g}}</math>
|cellpadding = 6
|border = 1
|border colour = black
|background colour= white}}
Alle penduler med samme snorlængde har altså samme periode.
 
== Kildehenvisninger ==
{{reflist}}
 
[[Kategori:Oscillation]]
11.237

redigeringer