Versionen fra 8. jan. 2020, 23:36 redigér Inc (diskussion \| bidrag) Patruljanter 12.171 edits →‎Bevis: Kildefix Tags: Mobilredigering Mobilwebredigering Avanceret redigering fra mobil ← Gå til forrige forskel		Versionen fra 26. maj 2020, 17:07 redigér fjern redigering MacApps (diskussion \| bidrag) 10.535 edits m småret Tag: Visuel redigering Gå til næste forskel →
Linje 9: == Bevis == Panserformlen kan bevises ved at antage, at en stamfunktion <math>H(x)</math> eksisterer til <math>h(x)</math>. På begge sider af differentialligningen ~~ganges~~multiplicerer ~~der~~man nu med <math>e</math> opløftet i stamfunktionen på begge differentialligningens sider: :<math>e^{H(x)}y' + e^{H(x)}h(x) y = e^{H(x)}g(x)</math> <=> Da der gælder at: ~~Da:~~ :<math>\frac{d}{dx}\left(e^{H(x)}\right)=e^{H(x)}\frac{d}{dx}\left(H(x)\right)=e^{H(x)}h(x)</math> kan man skrive differentialligningen sådan: ~~kan differentialligningen skrives som:~~ :<math>e^{H(x)}y' + \frac{d}{dx}\left(e^{H(x)}\right) y = e^{H(x)}g(x)</math> <=> Vha. [[Regneregler for differentiation\|produktreglen for differentiation]] kan man føje de to led med <math>y</math> ~~kombineres~~sammen sådan: :<math>\frac{d}{dx}\left(e^{H(x)}y\right) = e^{H(x)}g(x)</math> ~~Der~~<=> Man ~~integreres~~integrerer mht. <math>x</math> på begge sider, hvilket ophæver differentiationen på venstresiden: :<math>e^{H(x)}y-c = \int e^{H(x)}g(x)dx</math> hvor <math>c</math> er en [[integrationskonstant]]. <=> Konstanten ~~flyttes~~flytter man over på højresiden, og ~~der~~man ~~dividere~~dividerer med <math>e^{H(x)}</math> sådan: :<math>y=e^{-H(x)}\left(\int e^{H(x)}g(x)dx+c\right)</math> Dermed erhar man isoleret <math>y</math> ~~blevet isoleret~~.<ref name="systime" /> Den endelige integrationskonstant kan ~~bestemmes~~man nu bestemme, hvis <math>y</math> er kendt til et bestemt punkt <math>x_0</math>, således at <math>y(x_0)=k</math>. Panserformlen er hermed bevist.

Panserformlen: Forskelle mellem versioner