Kategoriteori: Forskelle mellem versioner

'''Kategoriteori''' er et område i [[matematik]]ken, der omhandler det abstrakte studium af [[matematisk struktur|matematiske strukturer]] og relationer mellem dem. Teorien abstraherer fra ''[[mængde]]r'' og ''[[funktion (matematik)|funktioner]]'' til ''objekter'', der er forbundet i diagrammer med ''[[morfi]]er'' eller pile. Ydermere skelnes mellem konkrete kategorier med specificerede objekter og abstrakte kategorier, som er defineret kun ved brug af pile. Et af de simpleste eksempler på en [[kategori (matematik)|kategori]] (som udgør et meget vigtigt koncept i [[topologi]]) er [[gruppoid]]et, der er defineret som en kategori, hvis pile eller morfier alle er invertible. Kategorier optræder nu i de fleste områder i matematikken og desuden i visse områder i [[teoretisk datalogi]], hvor de svarer til [[datatype|typer]] og i [[matematisk fysik]], hvor de kan bruges i beskrivelsen af [[vektorrum]]; i begge områder bidrager kategoriteori med terminologi og forenende begreber. Kategorier blev først introduceret i studiet af [[algebraisk topologi]] af [[Samuel Eilenberg]] og [[Saunders Mac Lane]] i 1942-45.

 

Kategoriteori har adskillige facetter, der ikke blot kendes af specialister men af andre matematikere. Kategoriteori kendes undertiden som "[[abstrakt nonsens]]"; en term fra 1940'erne, der henviser til teoriens høje abstraktionsniveau sammenlignet med mere klassiske områder i matematikken. [[Homologisk algebra]] er kategoriteori i dets stræben efter at organisere og foreslå manipulationer i [[abstrakt algebra]]. [[Diagramjagt]] er en visuel argumentationsmetode, der behandler abstrakte "pile", der forenes i diagrammer. Bemærk at pilene mellem kategorier kaldes [[funktor]]er og opfylde diverse definerende [[kommutativ]]itetsrelationer; ydermere kan kategoriske diagrammer og følger defineres som funktorer. En pil mellem to funktorer er en [[naturlig transformation]] underlagt bestemte naturligheds- og kommutativitetsrelationer. Både funktorer og naturlige transformationer er nøglebegreber i kategoriteori. [[Toposteori]] er en form for abstrakt [[knippeteori]] med geometrisk oprindelse og fører til idéer som [[punktløs topologi]]. En topos kan også betragtes som en bestemt type kategori underlagt to yderligere aksiomer.

{{autoritetsdata}}

[[Kategori:Kategoriteori| ]]