Fourierrække: Forskelle mellem versioner
Content deleted Content added
Pred (diskussion | bidrag) Fjerner lydsprog (skulle snarere være Furi`'erägɔ e.l.), sprog, Kategori:Matematisk analyse |
Pred (diskussion | bidrag) Ændrer "stykkevis differentiabel" til "stykkevis kontinuert" i definitionen. Uddyber "konvergens" (punktvis/uniform?). Bør nok generaliseres yderligere, og det ny integreres bedre. |
||
Linje 1:
'''Fourierrækker''' er en bestemt type af [[uendelig række|uendelige rækker]] indenfor [[matematik]]ken. Fourierrækker blev oprindeligt udtænkt af den franske matematiker [[Joseph Fourier]], og er dermed navngivet til hans ære. Fourierrækker bruges til at beskrive [[periodisk funktion|periodiske]] [[funktion]]er til videre analyse.
For en 2π-periodisk funktion, som er [[stykkevis
<math> f \sim {1\over2} a_0 + \sum_{n=1}^\infty ( a_n \cdot \cos nx + b_n \cdot \sin nx ) </math>
Linje 10:
<math>b_n = {1\over \pi} \int_{-\pi}^\pi f(x) \sin nx \; \mathrm{d}x \quad , \quad n=1,2,3,\dots </math>
== Fourierrækker på kompleks form ==
Line 33 ⟶ 27:
\right.
</math>
== Konvergens ==
Lad ''f'' være en ''T''-periodisk funktion og lad <math>\chi_n(x)=e^{in\pi\frac{x}{T}}</math>. Hvorimens Fourierkoefficienterne formelt kan defineres for en hvilken som helst funktion, hvor integralerne giver mening, afhænger rækkens konvergens mod ''f''(''x'') af funktionen ''f'''s egenskaber.
Det simpleste svar er, at hvis ''f'' er [[kvadratisk integrabel]], så er
:<math>\lim_{N\rightarrow\infty}\int_{-\pi}^\pi\left|f(x)-\sum_{n=-N}^{N}
c_n\,\chi_n(x)\right|^2\,dx=0.</math>
Dette er konvergens i [[Lp-rum|''L''<sup>2</sup>]]-normen. Beviset for dette resultat er simpelt, modsat [[Lennart Carleson]]s meget stærkere resultat, at rækken konvergerer næsten overalt.
Der er mange kendte prøver, der sikrer, at rækken konvergerer i et givet punkt ''x'', for eksempel, hvis funktionen er [[differentiabel]] i ''x''. Selv et diskontinuitetsspring er intet problem: Hvis funktionen har venstre og højre afledede i punktet ''x'', vil Fourierrækken konvergerer mod gennemsnittet af grænseværdierne fra venstre og højre. Et overraskende resultat er dog, at Fourierrækken for en kontinuert funktion ikke nødvendigvis konvergerer [[punktvis konvergens|punktvist]].
Denne upraktiske situation opvejes af en sætning af [[Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet|Dirichlet]], der siger, at hvis ''f'' er en periodisk og stykkevis kontinuert differentiabel funktion, så konvergerer funktionens Fourierrække punktvist, og <math>\sum_{n\in\mathbb{Z}} c_n \chi_n(x)=\frac{f(x^+)+f(x^-)}{2}</math>, hvor <math>f(x^+)=\lim_{t\rightarrow x, t>x} f(x)</math> og <math>f(x^-)=\lim_{t\rightarrow x, t<x} f(x)</math>. Hvis ''f'' er kontinuert, såvel som stykkevist kontinuert differentiabel, konvergerer rækken i ''L''<sup>2</sup> og dermed uniformt.
I 1922 publicerede [[Andrey Kolmogorov]] en artikel ved navn [http://matwbn.icm.edu.pl/ksiazki/fm/fm04/fm0427.pdf Une série de Fourier-Lebesgue divergente presque partout], i hvilken han gav et eksempel på en [[Lebesgueintegrabel]] funktion, hvis Fourierrække divergerede næsten overalt. Denne funktion er ikke i <math>L^2(\mu)</math>.
[[Kategori:Matematisk analyse]]
|