Kvadrattal: Forskelle mellem versioner
Content deleted Content added
Udvider lidt fra en:wiki i forbindelse med Julequizzen |
bidrag fra no-wiki |
||
Linje 4:
F.eks. er 1 et kvadrattal da 1*1=1 og så siger man 2*2= 4 og så videre.
Navnet ''kvadrattal'' henviser til, at et kvadrattals prikker eller kugler kan arrangeres som et geometrisk [[kvadrat]]. Det betyder at det ''n''-te kvadrattal har ''n'' prikker eller kugler i sine sider. Disse tal danner en klasse af [[figurtal]] på samme måde som [[trekanttal]] og andre [[polygontal]].
Kvadratet af et lige tal er altid et lige tal, mens kvadratet af et ulige tal altid er et ulige tal.
==Aritmetiske egenskaber==
Det ''n''-te kvadrattal ''K<sub>n</sub> '' kan skrives som en sum af de ''n'' første ulige tal. For eksempel, så er
: <math>\begin{align}
&1 &= 1 &=1^2\\
&1 + 3 &= { 4} &= 2^2\\
&1 + 3 + 5 &= { 9} &= 3^2\\
&1 + 3 + 5 + 7 &= 16 &= 4^2\\
\end{align}</math>
Da det ''n''-te ulige tal er 2''n'' + 1, modsvarer denne egenskab ved kvadrattallene den [[rekursion|rekursive]] sammenhæng
: <math> K_{n+1} = K_n + (2n + 1) </math>
Ved at benytte at ''K''<sub>1</sub> = 1, kan alle kvadrattal heraf beregnes med [[addition]]. Den rekursive sammenhæng kan også illustreres geometrisk med figurerne
<center>
{| class="wikitable" style="text-align:center"
|-
| width="25%"| [[Fil:Square number 1 with gnomon.svg]]
| width="25%"| [[Fil:Square number 4 with gnomon.svg]]
| width="25%"| [[Fil:Square number 9 with gnomon.svg]]
| width="25%"| [[Fil:Square number 16 with gnomon.svg]]
|-
| <math>\color{black}1 \color{black}</math>
| <math>1 + \color{blue}3 \color{black}= 4</math>
| <math>4 + \color{blue}5 \color{black}= 9</math>
| <math>9 + \color{blue}7 \color{black}= 16</math>
|}
</center>
hvor det ulige tal der lægges til, er vist med de blå kugler. Dens rigtighed følger også [[algebra|algebraisk]] af definitionen {{nowrap|''K<sub>n</sub>'' {{=}} ''n''<sup> 2</sup> }} som betyder at
: <math> K_{n+1} = n^2 + 2n + 1 = (n + 1)^2 </math>
== Eksempler ==
| |||