Forskel mellem versioner af "Integralregning"

289 bytes tilføjet ,  for 1 år siden
m
Robot: Konverterer nøgne referencer, ved hjælp af ref navne for at undgå dubletter, se FAQ
m (→‎Eksterne links: {{reflist}})
m (Robot: Konverterer nøgne referencer, ved hjælp af ref navne for at undgå dubletter, se FAQ)
{{kilder|dato=november 2020}}
 
'''Integralregning''' udgør inden for [[matematik]]ken sammen med den modsatte<ref>http://intranet.sctknud-gym.dk/lrere/HS/Noter/Integralregning_Nspire.pdf</ref> regneart<ref>[http://www.matlex.dk/diff.html Differentialregning<!-- Botgenereret titel -->]</ref> [[differentialregning]] den såkaldte [[infinitesimalregning]].<ref>[https://www.webmatematik.dk/lektioner/matematik-a/infinitesimalregning Infinitesimalregning (Matematik A) – Webmatematik<!-- Botgenereret titel -->]</ref> Integraler er basalt set en udvidelse af summering, idet man summerer uendeligt mange, uendeligt små (infinitesimale) dele.<ref>[https://www.mathematik.de/algebra/81-erste-hilfe/analysis/integration/1647-die-begriffe-der-integralrechnung Die Begriffe der Integralrechnung<!-- Botgenereret titel -->]</ref> Således kan man f.eks. finde et areal ved opdeling i uendeligt små firkanter (arealelementer), og summere disse op.<ref>Herman & Strang (2016) s. 15</ref> Et andet eksempel er at beskrive den samlede ændring i en [[matematisk funktion]], ud fra viden om hvor hurtigt denne ændrer sig (f.eks. til et givet tidspunkt eller sted).
 
== Eksempler ==
 
== Bestemte og ubestemte integraler ==
Man skelner mellem to måder at bruge integraler på: hhv. ''bestemte'' ''integraler'' og ''ubestemte'' ''integraler''.<ref name="autogeneret1">http://www.mat1.dk/integralregning_for_a_niveau_i_stx.pdf</ref>
 
=== Ubestemt integral ===
I eksemplet med bilen kan man, ud fra den [[Funktion (matematik)|funktion]] der beskriver bilens fart til ethvert tidspunkt ''t'' under kørslen, beregne den tilbagelagte strækning som det ''ubestemte integral'' af fartfunktionen. Hvis fartfunktionen hedder ''f''(''t''), skrives det ubestemte integral heraf som:<br />
<math>\int f(t) dt</math><br />
At integrere mht. en bestemt variabel modsvarer at [[differentiere]] mht. samme variabel, sådan at <math>f(t)=\frac{d}{dt}\int f(t) dt</math>; og da man definerer ''fart'' som [[differentialkvotient]]en af stedfunktionen mht. tid, følger det, at stedfunktionen er en [[stamfunktion]]<ref name="autogeneret2">https://www.matematikfysik.dk/mat/noter_tillaeg/integralregning.pdf</ref> til fartfunktionen mht. tid.
 
Tegnet ''∫'' til venstre kaldes det lange ''s'' eller, når det bruges i forbindelse med integralregning, et ''integraltegn''. Det var oprindeligt en skrivemåde for et ''s'', der ikke afslutter et ord, og brugtes første gang til integralregning af [[Gottfried Wilhelm Leibniz]]<ref>https://www.mathe-online.at/mathint/int/i.html</ref><ref>[https://www.mathematik.de/leseecke/geschichte/907-die-geschichte-des-prioritaetsstreits-zwischen-leibniz-und-newton Die Geschichte des Prioritätsstreits zwischen Leibniz und Newton<!-- Botgenereret titel -->]</ref> baseret på det latinske ord ''summa'' "sum". Funktionen <math>f(x)</math> kaldes integranden og ''dt'' angiver, at ''t'' er den uafhængige variabel, altså den variabel der integreres ''med hensyn til''.
 
Det ubestemte integral er en ny funktion af samme variabel som den oprindelige funktion (''t'' i eksemplet). Denne nye funktion kan nu bruges til at beregne de ''bestemte integraler''.
 
== Arealet under en kurve ==
Hvis man tegner [[graf]]en til en funktion og vælger et [[interval (matematik)|interval]] som beskrevet ovenfor,<ref>http: name="autogeneret1" //www.mat1.dk/integralregning_for_a_niveau_i_stx.pdf</ref> kan man markere intervallet på [[graf]]en som to linjer parallelt med [[koordinatsystem]]ets [[ordinatakse]]:<ref>http://web.math.ku.dk/~erhansen/doedePencasts15/Integralregning%202.pdf</ref> Nu vil arealet mellem [[graf]]en, [[abscisseakse]]n og de to [[interval (matematik)|intervalgrænser]] være lig med funktionens bestemte integral for samme interval.<ref>http://www.mat1.dk/integralregning_for_gymnasiet_og_hf.pdf</ref>
 
Arealet på figuren ovenfor beregnes sådan:<ref>https: name="autogeneret2" //www.matematikfysik.dk/mat/noter_tillaeg/integralregning.pdf</ref> A = F(b) - F(a)<ref>http: name="autogeneret1" //www.mat1.dk/integralregning_for_a_niveau_i_stx.pdf</ref>
 
== Se også ==
Matematisk [[Computerprogram|software]] og [[lommeregner]]e med [[Computer Algebra System|CAS]] kan beregne integraler:
 
* maplesoft<ref>https://www.maplesoft.com/documentation_center/maple18/usermanual.pdf</ref> [[Maple]] og [[Texas Instruments]]' to grafregnere<ref name=":0">[https://education.ti.com/en/guidebook/details/en/2110B5BC591D44E1AF4C28F00A6614B6/8992p TI-89 / TI-92 Plus Guidebook - Texas Instruments - US and Canada<!-- Botgenereret titel -->]</ref> [[TI-89]] og [[TI-92]] beregner ubestemt integrale med kommandoen: ∫(funktion,<math>x</math>)
* Det matematiske software<ref>http://www-fourier.ujf-grenoble.fr/~parisse/giac/cascmd_en.pdf</ref> [[Xcas]] beregner ubestemt integrale med kommandoen: int(funktion,<math>x</math>)
== Bøger ==