Gauss-elimination: Forskelle mellem versioner
Content deleted Content added
→Gauss-algoritme: alle led |
Glenn (diskussion | bidrag) m +kilder |
||
Linje 1:
'''Gauss-elimination''' er en [[algoritme]] til at løse et [[lineært ligningssystem]]. Samles koefficientene til de ukendte i en [[matrix]], kan denne omformes sådan at den bliver [[matrix|triangulær]] og har '''trappeform'''. Efter denne omskrivning kan de ukendte i ligningerne løses direkte. I Europa blev metoden systematisk benyttet af den tyske matematiker [[Carl Friedrich Gauss]], men var kendt blandt kinesiske matematikere fra år 150 AD.<ref>{{harvtxt|Calinger|1999}}, pp. 234–236</ref><ref name="princeton">{{cite book|author1=Timothy Gowers|author2=June Barrow-Green|author3=Imre Leader|title=The Princeton Companion to Mathematics|url=https://archive.org/details/princetoncompanio00gowe|date=8 September 2008|publisher=Princeton University Press|isbn=978-0-691-11880-2|page=607}}</ref> Gauss videreudviklede senere metoden sammen med geologen [[Wilhelm Jordan]], sådan at matricen kunne omskrives på en '''reduceret trappeform'''. For mange problemer er dette en fordel. Dette gælder specielt ved meget store ligningssystemer, hvor numeriske metoder benyttes. Metoden kaldes da for '''Gauss-Jordan-reduktion'''.<ref>{{Citation | last1=Althoen | first1=Steven C. | last2=McLaughlin | first2=Renate | title=Gauss–Jordan reduction: a brief history | doi=10.2307/2322413 | year=1987 | journal=[[American Mathematical Monthly|The American Mathematical Monthly]] | issn=0002-9890 | volume=94 | issue=2 | pages=130–142 | jstor=2322413 | publisher=Mathematical Association of America}}</ref>
Den samme algoritme kan også benyttes til at beregne [[Nulrum|nulrummet]] og [[Matrixrang|rangen]] for en matrix. Er matricen [[Kvadratisk matrix|kvadratisk]] og [[Regulær matrix|regulær]], kan Gauss-elimination også benyttes til at finde den tilhørende [[matrix|inverse matrix]].
Linje 70:
Geometrisk kan man forstå denne løsningen ved at benytte at hver ligning beskriver et plan i et tredimensionelt rum. To af dem vil da have løsninger, som ligger på skæringslinjen mellem de tilsvarende planer. Det tredje plan vil så skære over denne linjen i et punkt som giver den entydige løsning. Hvis to af planerne er parallelle, vil der ikke være nogen løsninger og ligningssystemet er '''inkonsistent'''. Et andet, specielt tilfælde optræder, hvis den sidste ligning beskriver et plan, som går gennem skæringslinjen til de to første planer. Da vil alle punkterne på denne linje være en løsning. Man har da ''ubestemte løsninger'', som svarer til et uendelig stort '''løsningsrum'''. I dette tilfælde er de tre ligninger ikke længere uafhængige af hinanden.
==
{{reflist}}
==Litteratur og citerede værker==
* {{Citation | last1=Calinger | first1=Ronald | title=A Contextual History of Mathematics | publisher=[[Prentice Hall]] | isbn=978-0-02-318285-3 | year=1999}}.
* K. Hoffman and R. Kunze, ''Linear Algebra'', Prentice - Hall, Inc., New Jersey (1971). ISBN 0-13-536821-9.
* G. Fisher, ''Lineare Algebra'', Springer Spektrum, Wiesbaden (2008). ISBN 978-3-658-03944-8.
| |||