Wikipedia

Eksponentiel vækst: Forskelle mellem versioner

Gennemse historikken interaktivt
← Gå til forrige forskel
Content deleted Content added
VisueltWikitekst
m →‎Eksempel: math-stil ved alle variabler.
Oprydning
 
Linje 13:
 
En eksponentiel vækst (også kaldt procentuel vækst) kan skrives på formen
<math>f(x)=b \cdot a^x</math>,hvor <math>a > 0\,</math> og <math>a \neq 1</math>. <math>a</math> er udviklingshastigheden – også kaldet grundtallet for funktionen.▼
<math>f(x)=b \cdot a^x</math>,
En eksponentiel vækst vil danne en ret linje på enkeltlogaritmisk papir.▼
 
▲hvor <math>a > 0\,</math> og <math>a \neq 1</math>. <math>a</math> er udviklingshastigheden – også kaldet grundtallet for funktionen.
 
Bemærk desuden at,
* hvis <math>a>1</math> vil grafen være stigende ([[voksende funktion]]).
* hvis <math>a=1</math> vil grafen være en vandret linje ([[konstant funktion]]).
* hvis <math>0<a<1</math> vil grafen være faldende ([[aftagende funktion]]).
▲En eksponentiel vækst vil danne en ret linje på enkeltlogaritmisk papir.
 
Kendes to punkter <math>A(x_1,y_1)</math> og <math>B(x_2,y_2)</math> kan konstanten <math>a</math> findes ved formlen <math>a = \sqrt[x_2 - x_1]{\frac{y_2}{y_1}}</math> og <math>b</math> kan herefter findes ud fra <math>(x_1,y_1)</math> eller <math>(x_2,y_2)</math>:
<math>a = \sqrt[x_2 - x_1]{\frac{y_2}{y_1}}</math>
 
<math>b</math> kan herefter findes ud fra <math>A</math> eller <math>B</math>:
<math>b = \frac{y_1}{a^{x_{1}}}</math> eller <math>b = \frac{y_2}{a^{x_2}}</math>
 
Line 43 ⟶ 36:
==== Bestemmelse af fordoblings- og halveringskonstanten i en eksponentialfunktion ====
[[Fordoblingskonstant]]en og [[halveringskonstant]]en er udtryk der bruges om eksponentiel udvikling og fortæller, hvor langt man skal gå ud ad [[abscisseakse]]n for at få fordoblet (eller halveret) [[funktionsværdi]]en, denne længde er nemlig konstant.
 
===== Sætning =====
 
En eksponentielt voksende funktion er generelt skrevet:
Line 50 ⟶ 41:
<math>f(x) = b \cdot a^x, \quad a,b,x \in \mathbb{R}, a>0, b>0</math>
 
Fordoblings- og halveringskonstantenFordoblingskonstanten <math>T_2</math> er i denne givet som:
 
<math>T_2 = \frac{\log(2)}{\log(a)}</math>
Line 57 ⟶ 48:
 
<math>T_{1/2} = \frac{\log(0.5)}{\log(a)}</math>
 
===== Bevis =====
Vi ved, at når vi adderer <math>T_2</math> til et givet tal <math>x</math>, så skal funktionsværdien blive dobbelt så stor. Udtrykt matematisk er dette:
 
<math>f(x+T_2) = 2 \cdot f(x)</math>
[[Billede:Double.JPG|right|Bestemmelse af fordoblings- og halveringskonstanten i en eksponentialfunktion]]
 
Hvis vi anvender dette på den generelle eksponentialfunktion, bliver det følgende.
 
<math>b \cdot a^{x+T_2}=2 \cdot b \cdot a^{x}</math>
 
Herefter benyttes almen og logarimisk algebra til at isolere <math>T_2</math>.
 
<math> a^{x+T_2}= a^{x} \cdot a^{T_2} = 2 \cdot a^{x}</math>
 
<math>\Updownarrow</math>
 
<math> a^{T_2}= 2 </math>
 
<math>\Updownarrow</math>
 
<math> \log \left( a^{T_2} \right)= \log\left( 2 \right) </math>
 
<math>\Updownarrow</math>
 
<math> T_2 \cdot \log \left( a \right)= \log\left( 2 \right) </math>
 
<math>\Updownarrow</math>
 
<math> T_2 = \frac {\log(2)}{\log(a)} </math>
 
<div style="text-align:center;"><math>Q.E.D.</math></div>
 
Sætningen er dermed bevist.
 
== Eksempel ==
Hentet fra "https://da.wikipedia.org/wiki/Eksponentiel_vækst"