Interval (matematik): Forskelle mellem versioner
Content deleted Content added
Tags: Tilbagerullet Visuel redigering |
KnudW (diskussion | bidrag) m Gendannelse til seneste version ved 83.137.6.169, fjerner ændringer fra 80.198.251.68 (diskussion | bidrag) Tag: Tilbagerulning |
||
Linje 4:
==Notation==
Intervaller skrives som de to tal, der angiver endepunkterne, adskilt af et [[semikolon]] (''';'''), og omgivet af kantede parenteser, '''[''' og ''']'''. Parenteserne bruges til at markere, om de angivne endepunkter er en del af eller står uden for intervallet: Vender en parentes ind imod et tal, er tallet "med i" intervallet. Vender parentesen væk fra tallet, er tallet ''lige akkurat'' ikke med. Nogle eksempler:
* Intervallet '''[2;5]''' omfatter tallene 2 og 5, og samtlige [[reelle tal]] der ligger imellem de to.
* I intervallet ''']2;5]''' står 2 lige akkurat ''uden for'' intervallet, mens samtlige tal, der er blot den mindste smule ''større'' end 2, og samtidig mindre end eller lig med 5, er en del af intervallet...
* Intervallet '''[2;5[''' omfatter tallet 2, men lige akkurat ''ikke'' tallet 5.
* Intervallet ''']2;5[''' omfatter ingen af tallene 2 og 5, men alle tal der er større end 2 og samtidig mindre end 5.
Formelt gælder altså:
<math>[a;b] = \{ x \in \mathbb{R} \mid a \leq x \leq b \}</math>,<br />
<math>]a;b] = \{ x \in \mathbb{R} \mid a < x \leq b \}</math>,<br />
<math>[a;b[ = \{ x \in \mathbb{R} \mid a \leq x < b \}</math> og<br />
<math>]a;b[ = \{ x \in \mathbb{R} \mid a < x < b \}</math>.
En anden notation bruger både kantede parenteser og de "almindelige", runde parenteser, som alle vender "indad" mod tallene. Til gengæld bruges en kantet parentes ved siden af et endepunkt, der er ''med'' i intervallet og en rund parentes ved endepunkter der er ''uden for'' intervallet. Eksemplet foroven kan derfor også skrives som:
<math>[a;b] = \{ x \in \mathbb{R} \mid a \leq x \leq b \}</math>,<br />
<math>(a;b] = \{ x \in \mathbb{R} \mid a < x \leq b \}</math>,<br />
<math>[a;b) = \{ x \in \mathbb{R} \mid a \leq x < b \}</math> og<br />
<math>(a;b) = \{ x \in \mathbb{R} \mid a < x < b \}</math>.
Eftersom runde parenteser altid vender indad mod intervallets endepunkter, giver det sig selv, at den første linje ikke kan skrives med runde parenteser, da kun firkantparenteser skifter mellem at være inklusive og eksklusive alt afhængig af hvilken retning, de vender, og om de står før eller efter intervallets endepunkter.
==Åbne, halvåbne og lukkede intervaller==
Et interval som eksemplet '''[2;5]''', hvor begge de angivne tal er "med i" intervallet, omtales som et ''lukket interval'', mens intervaller hvor ingen af de afgrænsende tal er en del af intervallet, som eksemplet ''']2;5[''', kaldes for et ''[[åben mængde|åbent]] interval''. I de andre to eksempler er det ene tal en del af intervallet, mens det andet står udenfor, og begge omtales som ''halvåbne intervaller''.
== Ubegrænsede intervaller ==
Der findes også ''ubegrænsede'' intervaller, der er [[uendelig]]t [[længde|lang]]e. Med kun ét endepunkt findes åbne intervaller af typen <math>\left]a;\infty\right[</math> og <math>\left]-\infty;b\right[</math> samt lukkede af typen <math>\left[a;\infty\right[</math> og <math>\left]-\infty;b\right]</math>.
Intervallet <math>\left]-\infty;\infty\right[</math> (alle [[reelle tal]]) har ingen endepunkter og er derfor både åbent og lukket.
Bemærk at overalt hvor "uendelig" (<math>\infty</math>) eller "minus uendelig" (<math>-\infty</math>) indgår, er disse to værdier aldrig "med" i intervallet; den kantede parentes skal per konvention altid "vende væk" fra <math>\infty</math> eller <math>-\infty</math>.
== Degenererede intervaller ==
Etpunktsmængder af typen {''a''} samt den [[tomme mængde]] ''Ø'' er også [[sammenhængende]] [[delmængde]]r af de [[reelle tal]], men de opfattes normalt ikke som "rigtige" intervaller. Men hvis man tager disse degenererede intervaller og de "rigtige" intervaller under ét, har man en beskrivelse af netop de sammenhængende mængder af reelle tal.
{{Eftersyn|dato=november 2020}}
[[Kategori:Mængdelære]]
| |||