Reelle tal: Forskelle mellem versioner
Content deleted Content added
m Robot: Konverterer nøgne referencer, ved hjælp af ref navne for at undgå dubletter, se FAQ |
Dlesos (diskussion | bidrag) new stuff! |
||
Linje 1:
{{Symbol|<math> \mathbb R </math>|<small>Mængden af ''reelle tal''<br />betegnes med bogstavet R <br />med dobbeltstreg.</small>}}
De '''reelle tal''', der skrives <math>\mathbb{R}</math> ([[Unicode]] ℝ), er en mængde tal some udvider de rationale tal. Altså er alle rational tal
Reelle tal har ikke en kompakt standard representation og både deres form og operationer på dem defineres fra sag til sag. Man bruger derfor oftest forskellige symboler for dem. Man kan sige de har en større diversitet end rationale tal. For eksempel hvis man ønsker at bruge det reelle tal kvadrat rod 2, kan man bestemme en konkret form
* <math>q,d_1d_2d_3\ldots</math>,▼
<math>a + b \sqrt{2}</math>
Operationer kan så defineres som ved normaler polynomier, hvor man bruger at kvadrat rod 2 i anden er 2. Et andet eksempel er tallet pi som er har den egenskab at
<math>sin(\pi) = 1</math>
Man kan selvølgelig lægge hvilket som helst reelle tal sammen med et hvilket som helst andet. Men kan kan sjældent "reducere" udtrykket. For eksempel er pi plus kvadrat rod 2 bare
<math>\pi + \sqrt{2}</math>
Når dette er sagt, har all de reelle tal nogle egenskaber til fælles. En af disse egenskaber er at der omkring alle reelle tal er rationale tal vilkårlig tæt på. Tilsvarende kan man finde 2 rationale tal, et lidt større og et lidt mindre. For eksempel kan man vise at pi er mellem 3 og 4. Det er også mellem 3.1 og 3.2. Så 3.14 og 3.15. osv i undelighed. Denne observation gør at man kan erstatte reelle tal med et rationalt tal, så længe man acceptere en lille fejl.
Den anden egenskab som mængden af alle reelle tal har, some de rationale ikke har, er '''least-upper-bound property (aka fuldstændiggørelse)'''. Dette er en egenskab som har at gøre med mængde af tal. Egenskaben forklares ved en eksempel mængde.
5 er et '''upper bound''' fordi at alle tal i mængden er mindre eller lig med 5. Tallet 4 er også er upper bound af de samme årsager. Tallet 4 er dog mindre end 5. Vi kan faktisk se at 4 er det mindste mulige upper bound, da 4 er med i mængden. Så kalder man 4 for '''least upper bound (lub)'''. Et andet eksempel på en mængde er
<math>\{x \mid x^2 \leq 2\}</math>
Dette er mængden af rationale tal, som i anden er mindre end 2. Et rationelt som <math>x^2 \neq 2</math> findes ikke, men vi har dog konstrueret en mængde af rationele tal som er mindre. Denne mængde har IKKE et lub. (Prøv selv med nogle tal). De reelle tal har ikke dette problem. Mængder uden lub findes ikke i de reelle tal. For eksempel hvis vi tager mængden fra tidliger, så findes der nu er reelt tal hvor <math>x^2 = 2</math>. Dette er samme kvadrat 2 fra før
<math>\sqrt{2}</math>
Dette er vores least upper bound. Vi lavede en mængde af rationale tal som ikke havde et lub, så så vi at lub var mellem de reelle tal. Så faktisk kendetegner mængden det reelle tal (kvadrat rod 2 i dette eksempel). Dette giver så faktisk en standard representation, en mængde af rationale tal (dette er langt fra en simpel representation, men det er da noget konkret). Vi kan nu bruge dette til at konstruere de relle tal fra bunden. Vi tager udgangspunkt i mængden af alle undermængder af rationale tal. Vi definere så at alle disse mængder represæntere og står istedet for deres lub. Hvis altså lub findes (some set tidliger er dette ikke altid tilfældet for rationale tal). Hvis lub ikke findes, så definere vi mængden til at være tallet som BURDE have været lub (hvis altså det fandtes). Derefter definere vi addition, multiplikation osv på disse mængder.
== Konstruktion af de reelle tal ==
| |||