Andengradspolynomium: Forskelle mellem versioner

Et '''andengradspolynomium''' er et [[polynomium]] hvori den uafhængige [[variabel]] indgår i op til anden potens. Det har altså følgende form:

- hvor ''a'', ''b'', og ''c'' er [[reelt tal|reelle]] konstanter (''a'' skal være forskellig fra nul, da man ellers ville få et [[førstegradspolynomium]]).

Andengradspolynomiets grafiske billede er en [[parabel]] med et toppunkt, som enten et er maksimum eller et minimum, afhængig af om greneneparablens grene (eller ben) vender opad eller nedad (deda kaldesman kan se parablens grene som værende en mund, kalder man til tider parablen for henholdsvis en "glad" ogeller en "sur" parabel). Det hænger sammen med værdien af ''a'', idet eten negativtnegativ ''a'' tilvil give en "sur" parabel, ogmens omvendten positiv ''a'' vil give en "glad" parabel.

I det reelle talrum kan der være nul, en eller to rødder; i det [[komplekse tal]]rum vil der altid være to rødder hvis de tælles med [[multiplicitet]]. Røddernes kan identificeres på polynomiets graf som steder hvor grafen skærer ''x''-aksen.

Ved at kaste et blik på ligningen for parablen kan man sige flere ting om det grafiske billede. Således angiver størrelsenStørrelsen på ''a'' angiver grafens 'stejlhed' (jo større ''a'', desto stejlere graf) og fortegnet for ''a'' fortæller om grafens grene vender op- eller nedad. En parabel med negativt fortegn foran både ''a'' og [[diskriminant]]en har derfor ingen løsningsmængde for <math>y = 0</math>, idet den ligger under ''x''-aksen med nedadvendte grene. Det samme gælder hvis ''a>0'' og ''d<0''.

Man kan også ud fra ligningen se toppunktet i forhold til ''y''-aksen:

* Har <math>a\,\!</math> og <math>b\,\!</math> samme fortegn, ligger toppunktet til venstre for ''y''-aksen.

* Har <math>a\,\!</math> og <math>b\,\!</math> forskellige fortegn, ligger toppunkttoppunktet til højre for ''y''-aksen.

* Er <math>b=0\,\!</math> ligger toppunktet på ''y''-aksen.

Ud fra ligningen kan man også se skæringen på ''y''-aksen, hvilket er det samme som <math>c</math>.

==Toppunkt i enet andengradspolynomium==

For at finde koordinaterne for toppunktet i et andengradspolynomium, kanskal man finde nulpunktet for dets [[differentialkvotient]]. Da differentialkvotienten for et andengradspolynomium altid vil være et [[førstegradspolynomium]], vil der være netophøjst én rod.

:<math>2ax+b=0 \RightarrowLeftrightarrow \,\!</math> <math>2ax=-b \RightarrowLeftrightarrow\,\!</math> <math>x=-\frac{b}{2a}</math>

Da <math>-\frac{b} {2a}</math> er værdien af <math>x\,\!</math> i toppunktet, kan værdien af <math>y\,\!</math> findes ved at indsætte <math>x = -\frac{b} {2a}</math> i polynomietforskriften:

:<math>y=a \left (-\frac{b}{2a} \right)^2+b \left (-\frac{b}{2a} \right)+c \RightarrowLeftrightarrow y= \frac{ab^2}{4a^2} - \frac{b^2}{2a} + c \RightarrowLeftrightarrow y= \frac{b^2}{4a} - \frac{b^2}{2a} + c \RightarrowLeftrightarrow</math>

:<math>y= \frac{b^2 - 2b^2 + 4ac}{4a} \RightarrowLeftrightarrow y= \frac{-b^2+4ac}{4a} \RightarrowLeftrightarrow y= -\frac{(b^2-4ac)}{4a} \RightarrowLeftrightarrow y= -\frac{D}{4a} </math>

- idet diskreminanten[[diskriminant]]en, <math>D = b^2 - 4ac \,\!</math> er indført i udtrykket.

:<math> T_p = \left (-\frac {b}{2a},; -\frac {D}{4a} \right) </math>