Forskel mellem versioner af "Tællelig mængde"

375 bytes tilføjet ,  for 13 år siden
En række smårettelser
m (typo og linkfix)
(En række smårettelser)
En '''tællelig mængde''' er en [[mængde]], der er har samme [[kardinalitet]] (dvs. i en vis forstand samme antal elementer) som en delmængde de naturlige tal, eller ækvivalent, en mængde ''A'' er tællelig, hvis og kun hvis der findes en bijektivinjektiv funktion fra ''A'' til de naturlige tal. UformeltBemærk kanat man sigesomme attider som krav stiller eksistensen af en mængde''bijektiv'' funktion fra ''A'' til de naturlige tal. Forskellen på de to definitioner er, at enhver [[endelig mængde]] vil være tællelig med den første definition, mens det ikke vil være tilfældet med den sidste. Hvis ''A'' er uendelig hvisog tællelig, hvilket uformelt vil man sige, at man kan skrive elementerne i en uendelig numereret lang liste., Mængderkaldes derden erofte mindre'''tællelig enduendelig'''. tælleligeEn kaldesmængde [[Endeligder mængde|endelige]],ikke oger de størretællelig kaldes for [[Overtællelig mængde|overtælleligeovertællelig]]. Bemærk at(eller nogle ogsåsteder kalderblot endelige mængder for tælleligeikke-tællelig).
 
==Eksempler==
Eksempler på tællelige mængder er de [[hele tal]] og de [[rationale tal]]. Mængden af de hele tal (...,-2, -1, 0, 1, 2,...) er tællelig, fordi man kan liste elementerne: 0, 1, -1, 2, -2,.... De positive rationelle tal kan også listes: 1/1, 1/2, 2/1, 1/3, (2/2), 3/1, 1/4,... Man lister de rationelle tal først efter summen af tæller og nævner og derefter efter tæller. 2/2 er indsat i parentes for at vise systemet, men tæller ikke med da 1/1 allerede er i listen. Alle de rationale tal kan så listes ved at flette de positive og negative sammen på samme måde som med de hele tal.
 
Eksempler på utælleligeovertællelige mængder er mængden af de [[reelle tal]] og mængden af uendelige [[talfølge|følger]] af 0 og 1-taller.
 
At den sidstnævnte mængde er utælleligovertællelig kan vises med [[Cantor|Cantor's]]s diagonalbevis:
Antag at man kan liste alle uendelige følger at 0 og 1-taller. Listen kunne f.eks. starte:
 
:''s''<sub>1</sub> = (0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, ...)
:...
 
Men følgen, hvis <i>n</i>'te led er forskelligt fra ''n'''te led i ''s''<sub>''n''</sub>, kan ikke stå på listen:
 
:''s''<sub>1</sub> = (<u>'''0'''</u>, 0, 0, 0, 0, 0, 0, ...)
:''s''<sub>0</sub> = (<u>'''1'''</u>, <u>'''0'''</u>, <u>'''1'''</u>, <u>'''1'''</u>, <u>'''1'''</u>, <u>'''0'''</u>, <u>'''1'''</u>, ...)
 
DenneAntag følgeat kanden ikkegør, være i overstående liste. Antagog at den f.eks. er detlig 10.''s''<sub>''m''</sub> elementfor et overståendenaturligt liste''m''. Fra definitionen på følgen er dens 10.<i>m</i>'te element forskellig fra 10.det <i>m</i>'te element i ''s''<sub>10''m''</sub>, ogmen den kaner derforden ikkenetop væreforskellig 10.fra element på listen''s''<sub>''m''</sub>. Modstrid.
 
Overtælleligheden af de reelle tal følger også af ovenstående resultat.
 
[[Kategori:Mængdelære| ]]
 
 
 
[[Kategori:Matematik]]
[[Kategori:Mængdelære| ]]
{{matematikstub}}
 
==Se også==
*[[Kardinalitet]]
 
[[ar:مجموعة عدودة]]
11.247

redigeringer