Versionen fra 22. maj 2007, 03:18 redigér Robot (diskussion \| bidrag) Botter 16.940 edits m robot Fjerner: nl:Cardinaliteit ← Gå til forrige forskel		Versionen fra 11. okt. 2007, 09:45 redigér fjern redigering SuneJ (diskussion \| bidrag) 224 edits omskrev store dele af artiklen Gå til næste forskel →
Linje 2: '''Kardinaltal''' eller '''tælletal''' er tal anvendt til at angive, hvor mange elementer der er i en given mængde. Indenfor matematikken anvendes kardinaltal også i forbindelse med ~~overtællelige~~uendelige mængder. Kardinaltal er indført i matematikken af [[Georg Cantor]] omkring 1900 i forbindelse med udviklingen af den moderne [[mængdelære]]. For endelige mængder, er kardinaliteten antallet af elementer i mængden. F.eks. er <math>\|\{a,b,c\}\|=3</math>, fordi der er tre elementer i mængden {a,b,c}, og kardinaliteten af {a,b} er to. Kardinaliteten af en ægte [[delmængde]] af en endelig mængde A er altid mindre end kardinaliteten af A. Et [[tal]], <math>\aleph_n</math> er et '''kardinaltal''', hvis der ikke findes en [[bijektiv]] [[afbildning]] fra nogen [[ægte delmængde]] af [[mængde\|mængden]] på intervallet fra 0 til <math>\aleph_n</math>. For uendelige mængder gælder dette ikke: Kardinaliteten af mængden af de lige tal, er lig med kardinaliteten af mængden af de hele tal. Når man sammenligner størrelsen af uendelige mængder, ser man nemlig på om der findes en [[bijektiv]] funktion fra den ene til den anden. Dvs. om man kan parre elementerne i den ene mængde med elementerne i den anden. Det kan man med mængden af de hele tal, og mængden af de lige tal: <math> \dots ,-1 \leftrightarrow -2, 0 \leftrightarrow 0, 1 \leftrightarrow 2, 2 \leftrightarrow 4, 3 \leftrightarrow 6, \dots </math>. Tilsvarende kan man vise at kardinaliteten af mængden af [[rationelle tal]] er den samme. Denne kardinalitet kaldes <math>\aleph_0</math>. Ethvert tal som er element i en [[tællelig]] mængde er et kardinaltal, ligesom [[uendelig]] (forstået som [[grænseværdien]] for [[følge\|følgen]] <math>(i)_{i=1}^{\infty}</math>), der betegnes <math>\aleph_0</math>, er et kardinaltal. <math>\aleph_0</math> er det første uendeligt store kardinaltal, de følgende benævnes <math>\aleph_1, \aleph_2, \ldots, \aleph_\omega, \ldots</math>. Cantor viste at der ikke findes et største kardinaltal ligesom der er væsentligt flere kardinaltal større end <math>\aleph_0</math> end mindre end. Cantor beviste, at dette kardinaltal var det mindste uendelige kardinaltal. Det næstmindste uendelige kardinaltal kaldes <math>\aleph_1</math>, det næste <math>\aleph_2</math>, osv. Cantor viste også, at der ikke findes et højeste kardinaltal: Ved hjælp af sit [[diagonalbevis]] viste Cantor, at kardinaliteten til [[potensmængde]]n af en mængde, er større end kardinaliteten af mængden selv. Dette gælder måde endelige og uendelige mængder. [[Georg Cantor\|Cantor]] opstillede hypotesen at kardinaltallet til mængden af [[reelle tal]]<math>\mathbb{R}=\mathcal{P}(\mathbb{N})</math> følger lige efter det til de [[naturlige tal]] dvs at dennes kardinalitet skulle benævnes <math>\aleph_1</math>. Hypotesen er kendt som [[kontinuumhypotesen]] og er endnu uafgjort.▼ ▲[[Georg Cantor\|Cantor]] opstillede hypotesen at kardinaltallet til mængden af [[reelle tal]]<math>\mathbb{R}=\mathcal{P}(\mathbb{N})</math> følger lige efter det til de [[naturlige tal]] dvs at dennes kardinalitet skulle benævnes <math>\aleph_1</math>. Hypotesen er kendt som [[kontinuumhypotesen]] og det er ~~endnu~~blevet bevist, at den hverken kan bevises eller modbevises ud fra [[Zermelo-Fraenkels ~~uafgjort~~aksiomer]]. Kardinaltallene er [[velordnet\|velordnede]].

Kardinaltal: Forskelle mellem versioner