Målteori: Forskelle mellem versioner
Content deleted Content added
Pred (diskussion | bidrag) m kat |
Pred (diskussion | bidrag) Tog lidt mere fra "en:Measure (mathematics)" rev. 177765525. |
||
Linje 5:
Det er ofte ikke muligt eller ønskeligt at give en størrelse til ''alle'' delmængder af grundmængden, så et mål forlanges ikke at gøre det. Der er bestemte konsistenskrav, der bestemmer, hvilke kombinationer af delmængder, der skal tillægges mål; disse krav er samlet under begrebet [[sigma-algebra|σ-algebra]].
==Definition==
Formelt er et mål en [[afbildning]] ''μ'' defineret på en [[sigma-algebra|σ-algebra]] Σ i en mængde ''X'', som tager værdier på det [[udvidede reelle tal|udvidede interval]] [0,∞], og som opfylder følgende egenskaber:
* [[Den tomme mængde]] har mål nul:
:<math>\mu(\emptyset) = 0</math>.
* ''Tællelig additivitet'' eller [[sigma-additivitet|σ-''additivitet'']]: Hvis ''A''<sub>1</sub>, ''A''<sub>2</sub>, ... er en [[tællelig]] følge af parvis [[disjunkt|disjunkte mængder]] i Σ, så er målet af foreningen af alle ''A''<sub>''i''</sub> lig summen af målene af hvert ''A''<sub>''i''</sub>:
:<math> \mu\left(\bigcup_{i=1}^\infty A_i\right) = \sum_{i=1}^\infty \mu(A_i).</math>
: Dette krav kan ved fortolkningen i indledningen forstås som, at det samlede volumen af forskellige legemer blot er summen af de enkelte voluminer, eller at sandsynligheden for at foreningen af disjunkte hændelser indtræffer (dvs. at mindst en af hændelserne indtræffer), er lig summen af de enkelte sandsynligheder.
Parret (''X'',Σ) kaldes et ''måleligt rum'', og sammen med målet fås et såkaldt ''målrum'', (''X'',Σ,''μ''). Mængderne i Σ kaldes de ''målelige mængder''.
Et '''sandsynlighedsmål''' er et mål med total masse 1 (dvs. ''μ''(''X'') = 1); et [[sandsynlighedsrum]] er et målrum, hvor målet er et sandsynlighedsmål.
For målrum der også er [[topologisk rum|topologiske rum]], kan man definere egenskaber ved målet ud fra topologien. De fleste mål, der optræder i praksis i [[matematisk analyse|analyse]] (og i mange tilfælde også i [[sandsynlighedsteori]]) er såkaldte [[Radonmål]].
==Egenskaber==
Adskillige egenskaber kan udledes fra definitionen på målet.
===Voksende===
Målet ''μ'' siges at være voksende: Hvis ''A''<sub>1</sub> og ''A''<sub>2</sub> er målelige mængder med ''A''<sub>1</sub> ⊆ ''A''<sub>2</sub>, da er ''μ''(''A''<sub>1</sub>) ≤ ''μ''(''A''<sub>2</sub>).
===Mål på uendelige foreninger===
Målet er [[subadditivitet|subadditivt]]: Hvis ''A''<sub>1</sub>, ''A''<sub>2</sub>, ... er en [[tællelig]] følge af mængder i Σ (som ikke nødvendigvis er disjunkte), så er
:<math>\mu\left( \bigcup_{i=1}^\infty A_i\right) \le \sum_{i=1}^\infty \mu(A_i)</math>.
Målet er opadkontinuert: Hvis ''A''<sub>1</sub>, ''A''<sub>2</sub>, ... er målelige mængder, og ''A''<sub>''n''</sub> ⊆ ''A''<sub>''n''+1</sub> for alle ''n'', så er [[foreningsmængde|foreningen]] af mængderne målelig, og
:<math> \mu\left(\bigcup_{i=1}^\infty E_i\right) = \lim_{i\to\infty} \mu(E_i)</math>.
===Mål på uendelige fællesmængder===
Målet er nedadkontinuert: Hvis ''A''<sub>1</sub>, ''A''<sub>2</sub>, ... er målelige mængder, og ''A''<sub>''n''+1</sub> ⊆ ''A''<sub>''n''</sub> for alle ''n'' er [[fællesmængde]]n af mængderne en målelig mængde, og, hvis mindst en af mængderne har endeligt mål, gælder der, at
:<math> \mu\left(\bigcap_{i=1}^\infty A_i\right) = \lim_{i\to\infty} \mu(A_i)</math>.
Denne egenskab gælder ikke uden antagelsen om, at mindst en af mængderne har endeligt mål. Definer for eksempel for ''n'' ∈ '''N'''
:<math> A_n = [n, \infty) \subseteq \mathbb{R}.</math>
Denne mængde har uendeligt mål, men fællesmængden af mængderne er tom.
==Sigma-endelige mål==
:{{hovedartikel|Sigma-endelige mål}}
Et målrum (''X'',Σ,''μ'') kaldes endeligt, hvis ''μ''(''X'') er et endeligt reelt tal (og ikke ∞). Rummet kaldes ''σ-endeligt'', hvis ''X'' kan opdeles i en tællelig forening af målelige mængder, der hver især har endeligt mål. En mængde i et målrum siges at have ''σ-endeligt mål'', hvis den er en tællelig forening af mængder med endeligt mål.
For eksempel er de [[reelle tal]] med [[Lebesguemålet]] (som er intervallængden på ethvert interval) et σ-endeligt målrum, der ikke er endeligt. Betragt for alle ''k'' i '''Z''' de [[lukket mængde|lukkede]] [[interval (matematik)|intervaller]] [''k'',''k''+1]; der er tælleligt mange sådanne intervaller, der hver har mål 1, og deres forening er hele den reelle tallinje. Betragt nu i stedet de reelle tal med [[tællemålet]], der sender en delmængde af de reelle tal i antallet af elementer i mængden. Dette målrum er ikke σ-endeligt, da enhver mængde med endeligt mål kun indeholder endeligt mange punkter, og det ville kræve [[overtællelig]]t mange af sådanne mængder at dække hele den reelle tallinje. De σ-endelige målrum har nogle meget bekvemme egenskaber; σ-endelighed kan i denne forstand sammenlignes med [[separabelt rum|separabilitet]] af topologiske rum.
== Fuldstændighed ==
Lad (''X'',Σ,''μ'') betegne et målrum. En mængde ''A'' ⊆ ''X'' kaldes en ''[[nulmængde]]'', hvis der findes en mængde ''N'' i Σ, så ''A'' ⊆ ''N'' og ''μ''(''N'') = 0. (I nogen litteratur kaldes en sådan mængde en ''negligibel mængde'' og en målelig negligibel mængde kaldes da en nulmængde.) Et mål kaldes fuldstændigt, hvis enhver nulmængde er målelig (eller, med den alternative definition, hvis enhver negligibel mængde er målelig).
Et mål kan udvides til et fuldstændigt mål ved at betragte σ-algebraen frembragt af delmængder ''Y'', der afviger med en nulmængde fra en målelig mængde ''X''; dvs. at den [[symmetrisk differens|symmetriske differens]] på ''X'' og ''Y'' er en nulmængde. Da kan ''μ''(''Y'') defineres til at være lig ''μ''(''Y''). En sådan fuldstændiggørelse kan også opnås ved [[Constantin Carathéodory|Carathéodorys]] konstruktion med [[ydre mål]].
==Eksempler==
Herunder følger en række vigtige mål.
* [[Tællemålet]] er defineret som ''μ''(''S'') = antal elementer i ''S''.
* [[Lebesguemålet]] er det entydige fuldstændige [[translationsinvariante]] mål på en ''σ''-algebra, der indeholder [[interval (matematik)|intervallerne]] i ''R'', så ''μ''([0,1]) = 1.
* [[Haarmålet]] på en lokalt kompakt [[topologisk gruppe]] er en generalisering af Lebesguemålet og har en lignende entydighedsegenskab.
* [[Hausdorffmålet]] er en modifikation af Lebesguemålet til nogle [[fraktal]]er.
* Ethvert [[sandsynlighedsrum]] giver anledning til et mål, der tager værdien 1 på hele rummet (og derfor tager værdier i enhedsintervallet [0,1]). Et sådant mål kaldes et sandsynlighedsmål.
* Diracmålet ''μ''<sub>''a''</sub> er givet ved ''μ''<sub>''a''</sub>(''S'') = χ<sub>''S''</sub>(''a''), hvor χ<sub>''S''</sub> er [[indikatorfunktion]]en af ''S''. Målet af en mængde er 1, hvis mængden indeholder punktet ''a'' og 0 ellers.
==Ikkemålelige mængder==
:{{hovedartikel|Ikkemålelig mængde}}
Under antagelse af [[udvalgsaksiomet]] gælder, at ikke alle delmængder af det [[euklidisk rum|euklidiske rum]] er [[Lebesguemålelig]]e; eksempler på mængder, der ikke er, er [[Vitalis mængde]], og de ikke-målelige mængder, der postuleres i [[Hausdorffparadokset]] og [[Banach-Tarski-paradokset]].
[[Kategori:Målteori|*]]
| |||