Euklids postulater: Forskelle mellem versioner

86 bytes tilføjet ,  for 17 år siden
Edit: Aksiom ->postulat
(tilføjelse om pParallel-aksiomet)
(Edit: Aksiom ->postulat)
[[Euklid]]s 5 '''aksiomerpostulater''':
 
Postulat 1
Aksiom 1
 
For hvert par distinkte punkter P og Q findes der eksakt én linje, som går gennem både P og Q.
 
Postulat 2
Aksiom 2
 
For hvert [[linjestykke]] AB og hvert linjestykke CD findes der et entydigt bestemt punkt E, således at B ligger mellem A og E, og linjestykket CD er [[Kongruens|kongruent]] med BE.
 
Postulat 3
Aksiom 3
 
For hvert par distinkte punkter O og A findes der en cirkel med O som centrum og OA som radius.
 
Postulat 4
Aksiom 4
 
Alle rette vinkler er kongruente.
 
Postulat 5
Aksiom 5
 
Hvis et linjestykke skærer to rette linjer, så de danner to indre vinkler på hver side, som tilsammen er mindre end to rette vinkler, så vil de to linjer, hvis de forlænges uendeligt, mødes på den side, hvor de to vinkler er mindre end to rette vinkler.
 
AksiomPostulat 5 (i [[John Playfair]]s version)
 
For hver linje l og hvert punkt P, som ikke ligger på l, eksisterer det eksakt én linje m gennem P, således at m og l er parallelle.
 
== Parallel-aksiometpostulatet ==
 
Euklids 5. aksiompostulat, der også kaldes parallel-aksiometpostulatet, er et afgørende element i euklidisk [[geometri]], som er den geometri, der tilfredsstiller alle Euklids aksiomer. Geometri, som er uafhængigt af det 5. aksiom, kaldes [[ikke-euklidisk]] geometri]].
 
Adskillige egenskaber ved euklidisk geometri er logisk [[ækvivalent]]e med Euklids parallel-aksiompostulat i den forstand, at de kan bevises i et system, hvor parallel-aksiometpostulatet er sandt, og hvis disse egenskaber antages som [[aksiom]]er, så kan parallel-aksiometpostulatet også bevises.
 
En af de vigtigste af disse egenskaber, og den, der nu oftest antages som aksiom, er ''Playfairs aksiom'', der er gengivet ovenfor, og som er navngivet efter den skotske [[matematiker]] [[John Playfair]].
 
Der er gjort mange forsøg på at bevise parallel-aksiometpostulatet ud fra de første fire aksiomerpostulater. Incitamentet hertil har været, at det 5. aksiompostulat indfører noget uendeligt, som ikke intuitivt kan antages som sandt.
 
Dette førte til opdagelsen af [[Ikke-euklidisk geometri#hyperbolsk geometri|hyperbolsk geometri]], mens det 5. aksiomspostulats uafhængighed af Euklids øvrige aksiomerpostulater endegyldigt blev demonstreret af [[Eugenio Beltrami]].
 
Nogen af de sætninger, som er ækvivalente med parallel-aksiometpostulatet synes ved første øjekast ikke at være relateret til parallellitet. Nogle lyder endda så selvindlysende, at de ubevidst er blevet accepteret som gyldige af folk, som hævdede at have bevist parallel-aksiometpostulatet ud fra Euklids øvrige aksiomerpostulater.
 
Nogle af disse resultater er følgende:
25.017

redigeringer