Forskel mellem versioner af "Tællelig mængde"

30 bytes tilføjet ,  for 12 år siden
m
WPCW: Erstatter <i> med ''
m (robot Tilføjer: sl:Števna množica)
m (WPCW: Erstatter <i> med '')
En '''tællelig mængde''' er en [[mængde]], der har samme [[kardinalitet]] (dvs. i en vis forstand samme antal elementer) som en delmængde de naturlige tal, eller ækvivalent, en mængde ''A'' er tællelig, hvis og kun hvis der findes en [[injektiv]] funktion fra ''A'' til de naturlige tal. Bemærk at man somme tider som krav stiller eksistensen af en ''[[bijektiv]]'' funktion fra ''A'' til de naturlige tal. Forskellen på de to definitioner er, at enhver [[endelig mængde]] vil være tællelig med den første definition, mens det ikke vil være tilfældet med den sidste. Hvis ''A'' er uendelig og tællelig, hvilket uformelt vil man sige, at man kan skrive elementerne i en uendelig numereret lang liste, kaldes den ofte '''tællelig uendelig'''. En mængde der ikke er tællelig kaldes [[Overtællelig mængde|overtællelig]] (eller nogle steder blot ikke-tællelig).
 
== Eksempler ==
Eksempler på tællelige mængder er de [[hele tal]] og de [[rationale tal]]. Mængden af de hele tal (...,-2, -1, 0, 1, 2,...) er tællelig, fordi man kan liste elementerne: 0, 1, -1, 2, -2,.... De positive rationelle tal kan også listes: 1/1, 1/2, 2/1, 1/3, (2/2), 3/1, 1/4,... Man lister de rationelle tal først efter summen af tæller og nævner og derefter efter tæller. 2/2 er indsat i parentes for at vise systemet, men tæller ikke med da 1/1 allerede er i listen. Alle de rationale tal kan så listes ved at flette de positive og negative sammen på samme måde som med de hele tal.
 
:...
 
Men følgen, hvis <i>''n</i>'''te led er forskelligt fra ''n''<nowiki>'</nowiki>te led i ''s''<sub>''n''</sub>, kan ikke stå på listen:
 
:''s''<sub>1</sub> = (<u>'''0'''</u>, 0, 0, 0, 0, 0, 0, ...)
:''s''<sub>0</sub> = (<u>'''1'''</u>, <u>'''0'''</u>, <u>'''1'''</u>, <u>'''1'''</u>, <u>'''1'''</u>, <u>'''0'''</u>, <u>'''1'''</u>, ...)
 
Antag at den gør, og at den er lig ''s''<sub>''m''</sub> for et naturligt ''m''. Fra definitionen på følgen er dens ''m''<inowiki>m'</inowiki>'te element forskellig fra det ''m''<inowiki>m'</inowiki>'te element i ''s''<sub>''m''</sub>, men så er den netop forskellig fra ''s''<sub>''m''</sub>.
 
Overtælleligheden af de reelle tal følger også af ovenstående resultat.
== Se også ==
* [[Kardinalitet]]
 
{{Link FA|lmo}}
 
[[Kategori:Mængdelære]]
10.508

redigeringer