Målteori: Forskelle mellem versioner
Content deleted Content added
Loveless (diskussion | bidrag) m robot Tilføjer: el:Θεωρία μέτρου |
Broadbot (diskussion | bidrag) m Bot: Erstatter skabelon: Hovedartikel; kosmetiske ændringer |
||
Linje 1:
[[
'''Målteori''' er en gren af [[reel analyse]], der undersøger [[sigma-algebra|σ-algebraer]], mål, [[målelig afbildning|målelige afbildninger]] og [[integral]]er.
Linje 6:
Det er ofte ikke muligt eller ønskeligt at give en størrelse til ''alle'' delmængder af grundmængden, så et mål forlanges ikke at gøre det. Der er bestemte konsistenskrav, der bestemmer, hvilke kombinationer af delmængder, der skal tillægges mål; disse krav er samlet under begrebet [[sigma-algebra|σ-algebra]].
== Definition ==
Formelt er et mål en [[afbildning]] ''
* [[Den tomme mængde]] har mål nul:
:<math>\mu(\emptyset) = 0</math>.
* ''Tællelig additivitet'' eller [[sigma-additivitet|σ-''additivitet'']]: Hvis ''A''<sub>1</sub>, ''A''<sub>2</sub>, ... er en [[tællelig]] følge af parvis [[disjunkt|disjunkte mængder]] i
:<math> \mu\left(\bigcup_{i=1}^\infty A_i\right) = \sum_{i=1}^\infty \mu(A_i).</math>
: Dette krav kan ved fortolkningen i indledningen forstås som, at det samlede volumen af forskellige legemer blot er summen af de enkelte voluminer, eller at sandsynligheden for at foreningen af disjunkte hændelser indtræffer (dvs. at mindst en af hændelserne indtræffer), er lig summen af de enkelte sandsynligheder.
Parret (''X'',
Et '''sandsynlighedsmål''' er et mål med total masse 1 (dvs. ''
For målrum der også er [[topologisk rum|topologiske rum]], kan man definere egenskaber ved målet ud fra topologien. De fleste mål, der optræder i praksis i [[matematisk analyse|analyse]] (og i mange tilfælde også i [[sandsynlighedsteori]]) er såkaldte [[Radonmål]].
== Egenskaber ==
Adskillige egenskaber kan udledes fra definitionen på målet.
=== Voksende ===
Målet ''
=== Mål på uendelige foreninger ===
Målet er [[subadditivitet|subadditivt]]: Hvis ''A''<sub>1</sub>, ''A''<sub>2</sub>, ... er en [[tællelig]] følge af mængder i
:<math>\mu\left( \bigcup_{i=1}^\infty A_i\right) \le \sum_{i=1}^\infty \mu(A_i)</math>.
Målet er opadkontinuert: Hvis ''A''<sub>1</sub>, ''A''<sub>2</sub>, ... er målelige mængder, og ''A''<sub>''n''</sub>
:<math> \mu\left(\bigcup_{i=1}^\infty E_i\right) = \lim_{i\to\infty} \mu(E_i)</math>.
=== Mål på uendelige fællesmængder ===
Målet er nedadkontinuert: Hvis ''A''<sub>1</sub>, ''A''<sub>2</sub>, ... er målelige mængder, og ''A''<sub>''n''+1</sub>
:<math> \mu\left(\bigcap_{i=1}^\infty A_i\right) = \lim_{i\to\infty} \mu(A_i)</math>.
Denne egenskab gælder ikke uden antagelsen om, at mindst en af mængderne har endeligt mål. Definer for eksempel for ''n''
:<math> A_n = [n, \infty) \subseteq \mathbb{R}.</math>
Linje 46:
Denne mængde har uendeligt mål, men fællesmængden af mængderne er tom.
== Sigma-endelige mål ==
:{{
Et målrum (''X'',
For eksempel er de [[reelle tal]] med [[Lebesguemålet]] (som er intervallængden på ethvert interval) et
== Fuldstændighed ==
Lad (''X'',
Et mål kan udvides til et fuldstændigt mål ved at betragte
== Eksempler ==
Herunder følger en række vigtige mål.
* [[Tællemålet]] er defineret som ''
* [[Lebesguemålet]] er det entydige fuldstændige [[translationsinvariante]] mål på en ''σ''-algebra, der indeholder [[interval (matematik)|intervallerne]] i ''R'', så ''
* [[Haarmålet]] på en lokalt kompakt [[topologisk gruppe]] er en generalisering af Lebesguemålet og har en lignende entydighedsegenskab.
* [[Hausdorffmålet]] er en modifikation af Lebesguemålet til nogle [[fraktal]]er.
* Ethvert [[sandsynlighedsrum]] giver anledning til et mål, der tager værdien 1 på hele rummet (og derfor tager værdier i enhedsintervallet [0,1]). Et sådant mål kaldes et sandsynlighedsmål.
* Diracmålet ''
== Ikkemålelige mængder ==
:{{
Under antagelse af [[udvalgsaksiomet]] gælder, at ikke alle delmængder af det [[euklidisk rum|euklidiske rum]] er [[Lebesguemålelig]]e; eksempler på mængder, der ikke er, er [[Vitalis mængde]], og de ikke-målelige mængder, der postuleres i [[Hausdorffparadokset]] og [[Banach-Tarski-paradokset]].
|