Homeomorfi: Forskelle mellem versioner
Content deleted Content added
m robot: automatisk teksterstatning: (-<sup>2</sup> +²) |
Broadbot (diskussion | bidrag) m Fjerner htmlkode; kosmetiske ændringer |
||
Linje 6:
Intuitivt [[afbildning|afbilder]] en homøomorfi punkter der "ligger tæt ved hinanden" i det første objekt til punkter, der ligger tæt ved hinanden i det andet objekt, og tilsvarende afbildes fjerne punkter i fjerne punkter. Topologi er da studiet af egenskaber ved objekter, der ikke ændres under homøomorfi.
== Definition ==
En [[afbildning]] ''f'' mellem to [[topologisk rum|topologiske rum]] ''X'' og ''Y'' kaldes en '''homøomorfi''', hvis den har følgende egenskaber:
* ''f'' er [[bijektiv]] (den er [[injektiv]] og [[surjektiv]]),
* ''f'' er [[kontinuitet|kontinuert]],
* den [[invers funktion|inverse funktion]] ''f''<sup>
Hvis en sådan funktion eksisterer siges ''X'' og ''Y'' at være '''homøomorfe'''. En '''selvhomøomorfi''' er en homøomorfi fra et topologisk rum til sig selv. Homøomorfierne danner en [[ækvivalensrelation]] på [[klasse (mængdelære)|klassen]] af alle topologiske rum. De tilhørende [[ækvivalensklasse]]r kaldes '''homøomorfiklasser'''.
== Eksempler ==
* Den 2-dimensionale [[kugle|enhedsdisk]] D² (det indre af en 1-dimensionale cirkel) og [[kvadrat|
* Det åbne [[interval (matematik)|interval]] (-1,1) er homøomorft med de [[reelle tal]] '''R'''.
* [[Produkttopologi|Produktrummet]] [[Kugle|S<sup>1</sup>]]
* Enhver [[uniform isomorfi]] og [[isometrisk isomorfi]] er en homøomorfi.
* Enhver 2-dimensional kugle, hvor et enkelt punkt er fjernet, er homøomorft med mængden af alle punkter i '''R'''² (en 2-dimensional [[plan (matematik)|plan]]).
* '''R'''<sup>''n''</sup> og '''R'''<sup>''m''</sup> er ikke homøomorfe for ''n''
== Bemærkninger ==
Kravet, at også ''f''<sup>
Homøomorfier er [[isomorfi]]erne i [[kategorien af topologiske rum]]. Da det er tilfældet, er sammensætning af to homøomorfier igen en homøomorfi, og mængden af alle selvhomøomorfier ''X''
Til nogle formål er homøomorfigruppen dog for omfattende, men i de tilfælde kan gruppen ved benyttelse af [[isotopi]]relationen reduceres til [[afbildningsklassegruppe]]n.
== Egenskaber ==
* To homøomorfe rum har samme [[topologisk egenskab|topologiske egenskaber]]. Hvis for eksempel det ene af rummene er [[kompakt rum|kompakt]] er det andet også, hvis det ene er [[sammenhængende]] er det andet også, og hvis det ene er et [[Hausdorffrum]] er det andet også; deres [[homologi]]grupper er sammenfaldende. Bemærk dog at det samme ikke gælder egenskaber, der hænger på eksistensen af en [[metrisk rum|metrik]]; der findes metriske rum, der er homøomorfe, selvom det ene er [[fuldstændigt metrisk rum|fuldstændigt]] og det andet ikke er.
Linje 37:
* Enhver selvhomøomorfi i S<sup>1</sup> kan udvides til en selvhomøomorfi på hele disken D² vha. [[Alexanders trick]].
== Uformel diskussion ==
Den intuitive beskrivelse af homøomorfier som deformerende afbildninger kræver nogen øvelse at anvende korrekt
Karakteriseringen af en homøomorfi giver også ofte anledning til sammenblanding med begrebet [[homotopi]], der er ''defineret'' som en kontinuert deformation, men fra en ''afbildning'' til en anden, snarere end fra et rum til et andet. I homøomorfitilfældet kan det at betragte afbildningen som en kontinuert deformation hjælpe til med at holde styr på, hvilke punkter i ''X'' der svarer til hvilke punkter i ''Y''
== Se også ==
*[[Lokal homøomorfi]]
*[[Diffeomorfi]]
|