Forskel mellem versioner af "Homeomorfi"

27 bytes fjernet ,  for 12 år siden
m
Fjerner htmlkode; kosmetiske ændringer
m (robot: automatisk teksterstatning: (-<sup>2</sup> +²))
m (Fjerner htmlkode; kosmetiske ændringer)
Intuitivt [[afbildning|afbilder]] en homøomorfi punkter der "ligger tæt ved hinanden" i det første objekt til punkter, der ligger tæt ved hinanden i det andet objekt, og tilsvarende afbildes fjerne punkter i fjerne punkter. Topologi er da studiet af egenskaber ved objekter, der ikke ændres under homøomorfi.
 
== Definition ==
En [[afbildning]] ''f'' mellem to [[topologisk rum|topologiske rum]] ''X'' og ''Y'' kaldes en '''homøomorfi''', hvis den har følgende egenskaber:
 
* ''f'' er [[bijektiv]] (den er [[injektiv]] og [[surjektiv]]),
* ''f'' er [[kontinuitet|kontinuert]],
* den [[invers funktion|inverse funktion]] ''f''<sup>&minus;1−1</sup> er også kontinuert (''f'' er en [[åbne og lukkede afbildninger|åben afbildning]]).
 
Hvis en sådan funktion eksisterer siges ''X'' og ''Y'' at være '''homøomorfe'''. En '''selvhomøomorfi''' er en homøomorfi fra et topologisk rum til sig selv. Homøomorfierne danner en [[ækvivalensrelation]] på [[klasse (mængdelære)|klassen]] af alle topologiske rum. De tilhørende [[ækvivalensklasse]]r kaldes '''homøomorfiklasser'''.
 
== Eksempler ==
* Den 2-dimensionale [[kugle|enhedsdisk]] D² (det indre af en 1-dimensionale cirkel) og [[kvadrat|enhedskvadratenhedskvadratet]]et i '''R'''² er homøomorfe.
* Det åbne [[interval (matematik)|interval]] (-1,1) er homøomorft med de [[reelle tal]] '''R'''.
* [[Produkttopologi|Produktrummet]] [[Kugle|S<sup>1</sup>]] &times;× S<sup>1</sup> er homøomorft med den 2-dimensionale [[torus]].
* Enhver [[uniform isomorfi]] og [[isometrisk isomorfi]] er en homøomorfi.
* Enhver 2-dimensional kugle, hvor et enkelt punkt er fjernet, er homøomorft med mængden af alle punkter i '''R'''² (en 2-dimensional [[plan (matematik)|plan]]).
* '''R'''<sup>''n''</sup> og '''R'''<sup>''m''</sup> er ikke homøomorfe for ''n'' &ne; ''m''.
 
== Bemærkninger ==
Kravet, at også ''f''<sup>&minus;1−1</sup> er kontinuert, er essentielt. Betragt for eksempel funktionen ''f'' : [0, 2&pi;) &rarr; S<sup>1</sup> givet ved ''f''(&phi;φ) = (cos(&phi;φ), sin(&phi;φ)). Denne funktion er bijektiv og kontinuert, men den er ikke en homøomorfi.
 
Homøomorfier er [[isomorfi]]erne i [[kategorien af topologiske rum]]. Da det er tilfældet, er sammensætning af to homøomorfier igen en homøomorfi, og mængden af alle selvhomøomorfier ''X'' &rarr; ''X'' giver en [[gruppe (matematik)|gruppe]], der kaldes '''homøomorfigruppen''' af ''X'' og ofte betegnes Homeo(''X'').
 
Til nogle formål er homøomorfigruppen dog for omfattende, men i de tilfælde kan gruppen ved benyttelse af [[isotopi]]relationen reduceres til [[afbildningsklassegruppe]]n.
 
== Egenskaber ==
* To homøomorfe rum har samme [[topologisk egenskab|topologiske egenskaber]]. Hvis for eksempel det ene af rummene er [[kompakt rum|kompakt]] er det andet også, hvis det ene er [[sammenhængende]] er det andet også, og hvis det ene er et [[Hausdorffrum]] er det andet også; deres [[homologi]]grupper er sammenfaldende. Bemærk dog at det samme ikke gælder egenskaber, der hænger på eksistensen af en [[metrisk rum|metrik]]; der findes metriske rum, der er homøomorfe, selvom det ene er [[fuldstændigt metrisk rum|fuldstændigt]] og det andet ikke er.
 
* Enhver selvhomøomorfi i S<sup>1</sup> kan udvides til en selvhomøomorfi på hele disken D² vha. [[Alexanders trick]].
 
== Uformel diskussion ==
Den intuitive beskrivelse af homøomorfier som deformerende afbildninger kræver nogen øvelse at anvende korrekt &ndash; det er eksempelvis ikke oplagt fra denne beskrivelse, at det ikke tillades at deformere et [[linjestykke]] til et punkt. Det er derfor væsentligt at holde et øje på den formelle definition.
 
Karakteriseringen af en homøomorfi giver også ofte anledning til sammenblanding med begrebet [[homotopi]], der er ''defineret'' som en kontinuert deformation, men fra en ''afbildning'' til en anden, snarere end fra et rum til et andet. I homøomorfitilfældet kan det at betragte afbildningen som en kontinuert deformation hjælpe til med at holde styr på, hvilke punkter i ''X'' der svarer til hvilke punkter i ''Y'' &ndash; man følger dem blot som ''X'' deformeres. I homotopitilfældet er den kontinuerte deformation essentiel, og den er tillige mindre begrænsende, da ingen af de involverede afbildninger behøver være injektive eller surjektive. Homotopi giver også anledning til relationer mellem rum: [[Homotopi]]ækvivalens.
 
== Se også ==
*[[Lokal homøomorfi]]
*[[Diffeomorfi]]
60.454

redigeringer