Versionen fra 17. okt. 2008, 00:00 redigér Loveless (diskussion \| bidrag) 23.792 edits m robot Tilføjer: hu:Norma (matematika) ← Gå til forrige forskel		Versionen fra 12. jan. 2009, 22:26 redigér fjern redigering Broadbot (diskussion \| bidrag) Botter 60.454 edits m Fjerner htmlkode; kosmetiske ændringer Gå til næste forskel →
Linje 3: Begrebet '''norm''' er i [[matematik]]ken en generalisering af det almindelige begreb [[længde]]. En norm er generelt et mål for størrelsen/længden af en [[vektor (matematik)\|vektor]] i et reelt eller komplekst [[vektorrum]]. Fælles for alle normer er at de karakteriserer det matematiske objekt med en enkelt positiv [[skalar]] (et [[tal]]), der kan anvendes til sammenligning med normen af andre vektorer af samme type. == Definition == En '''norm''' er en funktion ''f'':''V'' ~~→~~→ '''R'''<sub>+</sub> fra et reelt eller komplekst vektorrum ''V'' over i de positive (inklusiv 0) [[reelle tal]], der opfylder følgende tre egenskaber. Dog bruger man oftest notationen \|\|'''v'''\|\| for funktionsværdien ''f''('''v''') (eller man skriver blot, at en norm er en funktion \|\| ~~⋅~~⋅ \|\|:''V'' ~~→~~→ '''R'''<sub>+</sub>). En norm på et reelt hhv. komplekst vektorrum ''V'' skal under alle omstænder opfylde disse tre betingelser: # \|\|''a'''''v'''\|\| = \|''a''\|~~⋅~~⋅\|\|'''v'''\|\| for alle vektorer '''v''' ~~∈~~∈ ''V'' og ''a'' ~~∈~~∈ '''R''' hhv. ''a'' ~~∈~~∈ '''C'''. # \|\|'''v'''\|\| = 0 ~~⇔~~⇔ '''v''' = '''0''' for alle '''v''' ~~∈~~∈ ''V''. # \|\|'''v''' + '''w'''\|\| ~~≤~~≤ \|\|'''v'''\|\| + \|\|'''w'''\|\| for alle '''v''', '''w''' ~~∈~~∈ ''V''. Sidste betingelse går også under navnet [[trekantsuligheden]]. Et vektorrum med en norm kaldes et [[normeret vektorrum]]. == Eksempler == === Den euklidiske norm === Den mest kendte norm kaldes også den '''euklidiske norm''' og det, man normalt forbinder med længden af en vektor i de "almindelige" vektorrum <math>\mathbb{R}^2</math> og <math>\mathbb{R}^3</math>. For en vektor <math>\vec{v} = (x, y)</math> i planet <math>\mathbb{R}^2</math> er den euklidiske norm defineret ved :<math>\Vert\vec{v}\Vert = \sqrt{x^2 + y^2}</math>, Linje 18: og for en [[skalar]] (altså i det endimensionelle tilfælde) falder denne norm sammen med absolut-værdien. Fx. <math>\Vert -3 \Vert = \sqrt{(-3)^2} = \|-3\| = 3</math>. === ''n''-normer på '''R'''<sup>''k''</sup> === [[Billede:Vector_norms.svg\|thumb\|140px\|Enhedscirkler i '''R'''² mht. forskellige normer.]] Den euklidiske norm kan på samme måde generaliseres til højere dimensioner. For en vektor <math>\vec{v} = (v_1, v_2, \ldots, v_k)\in\mathbb{R}^k</math> er den euklidiske norm således defineret ved Linje 26: Derfor kalder man under tiden den euklidiske norm for 2-normen. To specialtilfælde af denne er værd at bemærke: For <math>n=1</math> får man : <math>\Vert\vec{v}\Vert_1 = \sum_{i=1}^k \|v_i\|</math> ~~—~~â dvs. 1-normen er summen af vektorkoordinaternes absolutværdi. Det andet specialtilfælde er grænseværdien for <math>n \rightarrow \infty</math>. Her dominerer den største af vektorkomponenterne, dvs. : <math>\Vert\vec{v}\Vert_\infty = \max\{v_i\,\|\,1\leq i\leq k\}</math>

Norm (matematik): Forskelle mellem versioner