Fourierrække: Forskelle mellem versioner

39 bytes tilføjet ,  for 13 år siden
m
Bot: Adding {{Commonscat|Harmonic analysis}}; kosmetiske ændringer
m (Bot: Adding {{Commonscat|Harmonic analysis}}; kosmetiske ændringer)
'''Fourierrækker''' er en bestemt type af [[uendelig række|uendelige rækker]] indenfor [[matematik]]ken. Fourierrækker blev oprindeligt udtænkt af den franske matematiker [[Joseph Fourier]], og er dermed navngivet til hans ære. Fourierrækker bruges til at beskrive [[periodisk funktion|periodiske]] [[funktion]]er til videre analyse.
 
For en 2π-periodisk funktion, som er [[stykkevis kontinuert]]e vil man tilknytte en funktion ''f'' til en Fourierrække af følgende form:
 
<math> f \sim {1\over2} a_0 + \sum_{n=1}^\infty ( a_n \cdot \cos nx + b_n \cdot \sin nx ) </math>
 
Hvor ''a<sub>n</sub>'' og ''b<sub>n</sub>'' betegner hhv. de såkaldte [[Fourierkoefficient]]er. Bemærk i øvrigt [[tilde]]-tegnet som kun kan erstattes af et [[lighedstegn]] i det tilfælde at Fourierrækken er [[konvergens|konvergent]] i alle punkter. Fourierkoefficienterne udregnes på følgende vis:
[[ImageBillede:Periodic identity function.gif|right|thumb|350px|En 2&pi;-periodisk funktion (blå), og dens approksimerende Fourierrække ved forskelligt antal led i summen.]]
<math>a_n = {1\over \pi} \int_{-\pi}^\pi f(x) \cos nx \; \mathrm{d}x \quad , \quad n=0,1,2,\dots </math>
 
 
== Fourierrækker på kompleks form ==
Det er muligt at opskrive Fourierrækken på kompleks form, som gør udtrykket mere overskueligt, om end det bliver mindre intuitivt at gennemskue, hvad der foregår i beregningerne.<br />
<math>f \sim \sum_{n=-\infty}^\infty c_n e^{inx} </math><br />
Som det ses er den [[kompleks eksponentialfunktion|komplekse eksponentialfunktion]] en del af dette udtryk. Her beregnes de komplekse Fourierkoefficienter på en lidt anderledes måde.<br />
<math>c_n = {1\over 2\pi} \int_{-\pi}^\pi f(x) e^{inx} \; \textrm{d} x \quad , n \in \mathbb{Z} </math><br />
Hvis man kender de reelle Fourierkoefficienter, er det muligt at omskrive dem til [[komplekse tal|kompleks]] form, således man får en simplere skrivemåde. Det gøres vha. disse omregninger:
<math>
 
I 1922 publicerede [[Andrey Kolmogorov]] en artikel ved navn ''Une série de Fourier-Lebesgue divergente presque partout'', i hvilken han gav et eksempel på en [[Lebesgueintegrabel]] funktion, hvis Fourierrække divergerede næsten overalt. Denne funktion er ikke i <math>L^2(\mu)</math>.
{{Commonscat|Harmonic analysis}}
 
[[Kategori:Matematisk analyse]]
274.384

redigeringer