Integralregning: Forskelle mellem versioner

 

Men farten er næppe, som regnestykket forudsætter, konstant; især ikke ved kørsel i byer, så for at få andet end et "løst overslag" ud af metoden med fart og tidsrum, burde denne bilist have en assistent med sig på turen, som med så korte intervaller som muligt kunne notere farten fra speedometeret, og tage tid på hvert interval. Jo kortere intervallerne kan gøres, desto mere præcist bliver det endelige resultat for hele rutens længde.

 

Hvis man kan skrive et regneudtryk, der præcist fortæller hvad bilens fart var til et tidspunkt ''t'' minutter inde i køreturen, kan man ved hjælp af integralregning beregne den kørte distance helt præcist: Løser man ovenstående opgave ved at ''integrere'' regneudtrykket for bilens fart, svarer det til at føromtalte assistent noterede den øjeblikkelige hastighed i uendeligt mange, uendeligt små tidsintervaller.

 

Givet et interval fra a til b ( Kan være åbent, lukket eller halvåbent ) og en inddeling af intervallet i n stykker af længden Delta x_''i''

 

<math>\sum_{i=1}^n f(x) \Delta x \to \int_a^b f(x)dx \mbox{ for } n \to \infty \mbox{ og } \Delta x \to 0</math>

 

Man skelner mellem to måder at bruge integraler på; hhv. ''bestemte'' og ''ubestemte'' integraler.

 

[[Billede:Integral as region under curve.png|300px|thumb|Integralet betragtet som arealet under en funktion]]

Tegnet "''∫''" til venstre kaldes det lange ''s'' eller, når det bruges i forbindelse med integralregning, et ''integraltegn''. Det var oprindeligt en skrivemåde for et ''s'', der ikke afslutter et ord, og brugtes første gang til integralregning af [[Gottfried Wilhelm Leibniz]] baseret på det latinske ord ''summa'' (sum). Der står ''dt'' til sidst for at "minde om", at der integreres ''med hensyn til t'' - i stedet for blot ''f''(''t'') kunne der stå et gevaldigt regneudtryk med en masse variabler i, og så viser "''dt''" hvilken en af dem der integreres over.

 

Det ubestemte integral er i en vis forstand "blot" en anden funktion af samme variabel som den oprindelige funktion (''t'' i eksemplet). Denne "nye funktion" kan nu bruges til at beregne de såkaldte ''bestemte integraler''.

 

Når man har fundet det ubestemte integral af et regneudtryk, kan man beregne bestemte integraler: I eksemplet med bilen svarer det til at beregne hvor stor en del af hele strækningen der blev tilbagelagt inden for bestemte tidsintervaller. For eksempel: Hvor mange af de i alt 57,5 km bliver tilbagelagt inden for de første fem minutters bykørsel efter motorvejen?

Bemærk skrivemåden med de to tal (30 og 35) der afgrænser der relevante interval skrevet ved integraltegnet. Har man et regneudtryk for ''F''(''t''), kan man således løse opgaven for vilkårlige tidsintervaller.

 

Bemærk at "svaret på" et bestemt integral er et tal - i eksemplet med bilen den strækning der køres inden for 5 minutter efter motorvejen forlades - mens et ubestemt integral altid er et regneudtryk.

 

Hvis man tegner [[graf]]en til en funktion og vælger et [[interval]] som beskrevet ovenfor, kan man markere [[interval]]let på [[graf]]en som to linjer parallelt med [[koordinatsystem]]ets [[ordinatakse]]: Nu vil arealet mellem [[graf]]en, [[abscisseakse]]n og de to [[interval (matematik)|intervalgrænser]] være lig med funktionens bestemte integral for samme interval.

 

Her er en oversigt over integraler i flere dimensioner:

*[[Kurveintegral]]

* [[Stamfunktion]]

 

* http://integrals.wolfram.com/ : Her kan man indtaste et regneudtryk, og få det ubestemte integral (med hensyn til en variabel ''x'' som skal indgå i regneudtrykket)

 

{{Link FA|mk}}

 

[[an:Integrazión]]

[[ar:تكامل]]

[[bs:Integral]]

[[cs:Integrál]]

[[de:Integralrechnung]]